آخر الأخبار

الخميس، 5 أكتوبر، 2017

ما هي القيم المطلقة؟




تعرف على القيم المطلقة وكيفية العثور عليها.

 

       ليس هناك العديد من المصطلحات في عالم الرياضيات التي تبدو أكثر جدية من "القيمة المطلقة". وأحيانا الأشياء التي تكون جادة من الصعب فهمها. فهل هذا صحيح للقيم المطلقة؟ الحمد لله، لا. أولا وقبل كل شيء، فهي ليست بنفس الجدية التي تبدو عليها. وثانيا، كما سترى قريبا، فهم القيم المطلقة سهل ... واتضح أنها تكون مهمة جدا أيضا.

ما هي الأرقام "الصغيرة"؟

     سنتحدث عن ماهية القيم المطلقة بالضبط في دقيقة واحدة، ولكن للحصول على فكرة عن سبب أهميتها، فلنأخذ لحظة للحديث عن أعداد صغيرة جدا جدا. هل لاحظت فيما مضى أنه من السهل أن تفشل عند استخدام كلمة "صغيرة" لوصف الأرقام؟ في حين أنه صحيح أن عدد قليل جدا مثل 0.001 هو "صغير"، فإنه لا يزال أكبر بكثير من عدد سلبي مثل -1,000,000 ...فقط فكر أين تقع تلك الأرقام على خط الأعداد اذا احتجت الى شيء اكثر اقناعا.

      ولكن هناك معنى آخر للكلمة "صغيرة" حيث عدد مثل 0.001 هو في الواقع يكون بالتأكيد أصغر بكثير من عدد -1,000,000. إذا ما هو هذا المعنى؟ حسنا، إنه شيء ما مرتبط بما يسمى "حجم" الأرقام. و، كما كنت قد خمنت، هذا له علاقة مع الموضوع الرئيسي اليوم: القيم المطلقة. فما هي؟

ما هي القيم المطلقة؟

      طريقتنا للتفكير في القيم المطلقة هي أن القيمة المطلقة لعدد يخبرك ببساطة كم يبعد هذا العدد عن الصفر. نبدأ من خلال تخيل خط الأعداد  في ذهنك، الصفر في الوسط، والأرقام السلبية على يسارك، والأرقام الموجبة على يمينك ... أنت تعرف الشكل الآن. القيمة المطلقة للرقم الموجب مثل 2 تساوي 2 فقط لأن هذه هي المسافة التي يبعدها من الصفر على خط الأعداد. القيمة المطلقة للعدد 1,000,000 على خط الأعداد هو فقط 1,000,000 حيث، مرة أخرى، هذا هو مجرد كم يبعد العدد عن الصفر. فما القيمة المطلقة للصفر نفسه؟ حسنا، إنها مجرد صفر، أليس كذلك؟ من الأفضل أن تكون كذلك، حيث أن الصفر يبعد عن نفسه صفر من الوحدات على خط الأعداد!

ما هي القيمة المطلقة لعدد سالب؟

      ولكن الأمور تصبح أكثر تعقيدا قليلا عندما نتحدث عن القيم المطلقة للأرقام السالبة. على سبيل المثال، ما هي القيمة المطلقة لـ 3- ؟ حسنا، كم يبعد العدد 3- عن 0 ؟ إذا كنت تفكر في خط الأعداد، سترى أن 3- هو 3 خطوات بعيدا عن 0 . وهو ما يعني أن القيمة المطلقة ل 3- تساوي 3. فلا يهم إذا كانت الخطوات في الاتجاه الموجب أو السالب، كل ما يهم هو العدد الإجمالي للخطوات بعيدا عن الصفر.

     وبعبارة أخرى، فإن القيمة المطلقة لعدد ما تخبرنا عن قياسه - المعروف أيضا بحجمه- ولا تخبرنا أي شيء عن اتجاهه بعيدا عن الصفر. وهو ما يعني أنها لا تخبرنا بأي شيء عن علامة الرقم. وبالحديث عن الحجم، نستطيع أن نلاحظ الآن أن العدد 0.001 بالتأكيد أكبر من 1,000,000- ، لكن حجمه أصغر بكثير. لذلك، على الأقل في هذا المعنى، 0.001 هو في الواقع عدد "صغير".

كيفية كتابة القيم المطلقة

      يشار إلى القيمة المطلقة لعدد في الكتابة عن طريق وضع الرقم بين زوج من خطين عموديين. على سبيل المثال، يتم كتابة القيمة المطلقة للرقم 2- على شكل |-2|  و القيمة المطلقة للعدد 1,000 مكتوبة |1,000|. لذلك كلما رأيت شيئا يشبه ذلك، أنت تعرف الآن أننا نتحدث عن قيمة مطلقة. وبعبارة أخرى، نحن مهتمون فقط في حجم الرقم، وليس في علامته.

كيفية العثور بسرعة على القيم المطلقة للأرقام

     في الممارسة العملية، فإن أسهل طريقة للعثور على القيمة المطلقة لرقم واحد هي تجاهل أي علامة سالبة أمامه. لذا |5|=5 (لا توجد علامة سالبة لتجاهلها هنا) و |1-|= 1 (هذه المرة تجاهلنا العلامة السالبة). إذا كنت تبحث بدلا من ذلك على القيمة المطلقة للتعبير الذي يحتوي على أرقام تحتوي على الضرب أو عمليات حسابية أخرى - شيء مثل |3+2-7| - كل ما عليك القيام به هو تبسيط التعبير ثم تجاهل أي علامات سالبة أمام النتيجة. على سبيل المثال، التعبير |3+2-7| يبسط إلى | 2- |، وهو يساوي 2 فقط.

     لماذا تعمل هذه الطريقة؟ لأن تجاهل أي علامات سالبة أمام الرقم في النهاية هو نفس الشيء بالضبط لمعرفة مدى بعد هذا العدد عن الصفر. هذا كل ما هو للقيم المطلقة! كما ترون، على الرغم من جدية تسميتها، فإن القيم المطلقة من السهل حقا فهمها والتعامل معها

المصدر 


ترجمة : علياء تكليف

تدقيق : علي خالد


اقرأ المزيد ...

الثلاثاء، 12 سبتمبر، 2017

كيف تحسب الجذور التربيعية في ذهنك





تعلم كيفية استخدام الجذور التربيعية في العالم الحقيقي، وكيف يمكنك بسهولة تقدير قيمة الجذر التربيعي في ذهنك ، وكيف يمكنك استخدام خوارزمية قديمة لحساب قيمة الجذر التربيعي باليد لدقة عالية كما تحتاجها


      
إذا كنت قد قرأت المقال السابق  (انقر هنا للاطلاع عليه) ، فمَعرفة ما هو الجذر التربيعي للأعداد  16 و81 ، وكل عدد آخر يكون مربع مثالي يجب أن تكون سهلة لأنك تعلم انه يجب عليك إيجاد العدد الذي ربعته وأعطاك ذلك المربع المثالي، ومعرفة ما الجذر التربيعي للعدد السالب يجب أن يكون سهلا أيضا مثل 1- أو 42-  لأننا بيّنا أن الأعداد السالبة لا تمتلك جذور تربيعية (على الأقل لا يوجد أي عدد نعرف عنه إلى الآن)، ومعرفة كيفية إيجاد الجذر التربيعي للأعداد ليست مربعات مثالية مثل π و55  يجب أن يكون سهلا جدا أيضا لأنك تستطيع استخدام الحاسبة دائما.

      
ولكن ماذا لو كنا بحاجة لإيجاد الجذر التربيعي للمربعات الغير مثالية و لم تكن لدينا حاسبة يدوية في نفس الوقت! ماذا تستطيع أن تفعل؟ استمر بالقراءة لأنك ستتعلم اليوم كيف تحسب جذور تربيعية في رأسك.


الملخص : ما هي الجذور التربيعية؟


        قبل الدخول في تفاصيل كيفية تقدير جذور تربيعية في ذهنك وكيفية حساب قيمها بدقة دون استخدام الحاسبة، دعنا نستخلص قليلا ماذا نعني بـ الجذور التربيعية؟ الفكرة في الواقع بسيطة جدا: متى ما ضربت عددً في نفسه (ابقِ في ذهنك أن هذا يعمل على أي عددٍ، سواء أكان عدد صحيح، عدد نسبي أو عدد غير نسبي) سوف يُدعى تربيع العدد.

        كمثال على الأعداد الصحيحة 15x15 وهو تربيع العدد 15، وهو ما يساوي إلى 225. فعندما نجد الجذر التربيعي للعدد 225، كل ما نفعله هو معرفة ما هو العدد الأصلي الذي ضربناه بنفسه للحصول على 225. أما عند التعامل مع الأعداد التي ليست مربعات مثالية، فإن تقنية إيجاد الجذور التربيعية مختلفة، لكن الفكرة تبقى نفسها. كمثال، ما هو الجذر التربيعي للعدد 343؟ باستخدام الحاسبة، نجد أن الجواب تقريبا 18.52. فإذا ضربنا 18.52×18.52، نحصل على 342.99 وهو قريب جدا من 343، لذا كما ترى، بغض النظر عن نوع العدد الذي نتعامل معه فإن معنى الجذر التربيعي يبقى نفسه.

الجذور التربيعية في العالم الحقيقي

       قد تتساءل لماذا قد تكون بحاجة لحساب الجذر التربيعي في المقام الأول؟ كما هو الحال في مواضيع كثيرة في الرياضيات ، فإن الجذور التربيعية أيضا تظهر كثيرا في عالمنا، كمِثال: تخيل أنك تفكر في شراء منزل ورأيت في الإعلان أن مساحة المنزل هي فقط 4000 قدم مربع هل هذا صغير؟ أم ضخم؟ ماذا تعني هذه المساحة ؟ حسنا، يوجد فكرة واحدة مناسبة لتفسير هل أن المساحة مربعة الشكل تقريبا(بالطبع معظم مساحات المنازل ليست مربعات بالضبط، ولكنها ليست نموذجا سيئا لاستخدامها فقط للحصول على فكرة). الجذر التربيعي الأقدام المربعة للمساحة يخبرك كم كبر كل جانب من نموذج المساحة هذا. بما أن الجذر التربيعي لـ 4,000 قدم مربعة هو أعلى بقليل من 63 قدم ، فنرى أن البيت واقع على قطعة أرض مربعة تكون أكثر من 63 قدم عرضاً و 63 قدما عمقا بالطبع هناك الكثير من الأمثلة على الجذور التربيعية في عالمنا ، لكن أظن أن هذا يعطي صورة أوضح.


كيفية تقدير الجذور التربيعية في ذهنك


       لننتقل الآن إلى الجانب العملي لإيجاد جذور تربيعية. أولا، ماذا تفعل عندما تحتاج حساب جذر تربيعي ولا تمتلك حاسبة؟ في الحقيقة، لأن معظم الهواتف لديها تطبيق الحاسبة الآن، فأنت تملك واحدة دائما معك تقريبا. ولكن لا يزال هناك حالات لا تحتاج  إلى إضاعة الوقت باستخدامها.على وجه الخصوص، لا تحتاج إلى عناء استخدام آلة حاسبة عندما تحتاج فقط إلى معرفة الجواب التقريبي، وهذه هي الحالة بالضبط في معظم حالات عالمنا. عندما كنا نريد أن نعرف كم هو كبر قطعة أرض مقاسها 4,000 قدم مربعة، نحن لا نحتاج حقا إلى جواب شافي و وجدنا أن جوانب قطعة الأرض كانت حوالي 60 قدم كافيا جدا.

       في مثل هذه الحالات عندما تكون الدقة العالية مبالغ فيها ، يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في ذهنك لعدد من خلال معرفة بين أي اثنين من المربعات المثالية يقع العدد. على سبيل المثال، تخيل أنك بحاجة إلى العثور على الجذر التربيعي لـ 60. إذا كنت قد حفظت جدول الضرب، فأنت تعرف مسبقا أن 7^2=49 و8^2=64. لأن 60 أكبر من 49 ولكن أصغر من 64، يمكننا أن نرى على الفور أن الجذر التربيعي لـ 60 يجب أن يكون بين 7 و 8. ويمكن أيضا أن نرى أن الجواب الحقيقي يجب أن يكون أقرب قليلا إلى 8 من 7 وهذا يعني أن 60 هو أقرب إلى 64 من 49. هل هذا منطقي؟

       
يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في رأسك من خلال معرفة بين أي عددين من المربعات المثالية يقع العدد المراد معرفة جذره التربيعي.

        ولكن ماذا لو كان هذا التقدير التقريبي ليس جيد بما فيه الكفاية وتحتاج إلى إجابة أكثر إقناعا؟ هل أنت خاليا من الحظ؟ لا، يمكنك استخدام خوارزمية قديمة جدا وذكية عمرها أكثر من 2000 عام تعرف باسم "الطريقة البابلية" أو "طريقة هيرون" لتحسين تقريبك. إليك كيفية استخدام الطريقة لإيجاد الجذر التربيعي لـ 60.

      الخطوة 1 هي تخمين الجواب .. كلما كان التخمين أفضل ستتحسن دقة التقدير بسرعة أكبر. في حالتنا، لأننا نعرف أن الجواب يجب أن يكون بين 7 و 8، لنخمّن 7.5. وبما أن 7.5×7.5=56.25 ، نعلم أن هذا ليس تخمين دقيقا، ولكن لنرى ما يمكن للخوارزمية القيام به.
      الخطوة 2 هي تقسيم العدد الذي أخذنا الجذر التربيعي له على الذي خمّناه لذا 60/7.5 = 8.

      الخطوة 3 هي إيجاد المتوسط بين هذا الرقم الجديد وبين الذي خمّناه. بعبارة أخرى، إضافة الرقم الجديد إلى الرقم الذي خمّناه  وتقسيم النتيجة على 2. أي (7.5 + 8) \ 2 =7.75. هذا الرقم هو تخمينّنا الجديد ، لنتّحقق و نرى هل تخمينّنا جيد: 7.75x7.75=60.0625 ...حيث انه قريب جدا من 60. لذا فقط بهذا التسلسل من الخطوات قمنا بتحسين تقديرنا للجذر التربيعي للـ 60 بشكل هائل.

      الخطوة 4 هي أن تقرر ما إذا كان تخمينك الجديد هو دقيق بما فيه الكفاية. إذا كان كذلك، إذن انتهيت. إن لم يكن كافيا، فلتعد إلى البداية مع التخمين الجديد وكرر العملية حتى تصل إلى الجواب الدقيق الذي تحتاج إليه. كل رحلة من خلال هذه الخوارزمية القديمة تعطيك جواب أكثر وأكثر دقة



 المصدر :




ترجمة : آيات خالد 

تدقيق : علياء تكليف 

اقرأ المزيد ...

الأحد، 10 سبتمبر، 2017

3 خطوات لإجراء عملية الجمع بسرعة




كيف تقوم بالقراءة بسرعة والحساب بسرعة سويا؟ ما هي أسرع الطرق للتوصل إلى إجابات تقريبية لمسائل الجمع ؟ وكيف سيساعدك الضرب للجمع بصورة أسرع ؟ أبقى مستمرا بقراءة الرياضيات الأنيقة لمعرفة الإجابة على هذه الأسئلة 


عندما خرجت في عطلة هذا الأسبوع للتسوق أدركت أنني إلى حدٍ ما ليس لدي معرفة باستخدام العديد من الحيل لإجراء عملية الجمع الذهنية لتساعدني في معرفة كم من المال انفق بعد أن لاحظت هذا أدركت أن هذه الحيل ربما تكون غير واضحة للناس الذين يستخدمونها دائما وهذا السبب الذي دفعني لمشاركتها معكم اليوم
بشكل خاص ونحن سنتعلم  العلاقة بين القراءة السريعة وإجراء عملية الجمع بسرعة وأسرع طريقة لجمع الأرقام عندما تحتاج إلى إجابة تقريبية وكيف نستخدم عملية الضرب والجمع بصورة سريعة

1- افعل ذلك ذهنيا (لا تنطق بما تفعل )
النصيحة الأولى لهذا اليوم هي سهلة القول وصعبة التطبيق ولكنها فعالة للغاية بمجرد أن تقوم بذلك وهنا توجد خدعة يجب أن تأخذ بها هي  توقف عن التحدث مع نفسك عند حل مسائل الجمع دون وعي وهذه القاعدة وكما قلت سهلة عند التحدث عنها وصعبة عند القيام بتطبيقها .
"توقف عن التحدث مع نفسك عند حل مسائل الجمع"
إذا كنت قد تعلمت سابقا القراء بصورة سريعة أو حاولت التعلم فليس لدي شك بأنك تعرف النصيحة التي تنص على التوقف عن النطق عند القراءة، أي القراءة الصامتة أجد أن من الصعب القيام بذلك عند القراءة على الرغم من ذلك يبدو أن بعض الأشخاص لديهم القدرة على القيام بذلك بينما أجد أن من الصعب القيام بذلك أثناء القراءة ولقد أدركت أني افعل ذلك بشكل طبيعي عند القيام بجمع مجموعة من الأرقام
فعلى سبيل المثال عند جمع مجموعة من الأرقام مثل 23, 17, 7, 12 و 30 الحوار الذي يدور بداخلي ليس شيئا مثل:
23+17=40 أذن 7+40=47 و 47+12=59 وأخيرا 59+31=90
ولكن بدلا من ذلك شيء مثل :
23, 33, 40, 47, 59, 90
وبعبارة أخرى فانا لا أدرك ما أقوم به أنا فقط افعل ذلك ، في هذه الحالة بدأت مع الرقم الأول 23 ثم أضفت له 10 من 17 للحصول على 33 ثم أضفت 7 من  17 (لاحظ أن مجموع  3 و7 هي إحدى الصور التي في المتناول والتي من الممكن أن نحصل منها على الرقم 10) للحصول على 40 ثم ما يلي نضيف 7 للحصول على 47 ثم 12 و31
المقصود هو أنني قمت بكل خطوة دون قولها أي بدون أن أقولها لنفسي، فقط فعلت ذلك. وإذا فعلتها مرة واحدة ستعتاد على القيام بذلك والتي من المسلم أنها  تأخذ بعض التدريب والممارسة وسوف تجد أن قطع القراءة  أو التوقف عن استعمالها تعطي عملية الجمع الذهنية الخاصة بك سرعة كبيرة و على الأقل بالنسبة لي إجراء عملية الجمع ذهنيا أسهل من إجرائها مع القراءة
.

2-جولة إيقاف وتسريع
الخطوة الثانية لهذا اليوم هي لكل الأوقات التي تحتاج بها إضافة بعض الأعداد للتوصل إلى تقدير مجموع مباراة بيسبول إنها لتلك الأوقات عندما تكون قريبا بصورة كافية جدا .  
احد الأسرار هو المضي قدما وبدء تقديرك في وقت مبكر من اللعبة عن طريق تقريب الأرقام التي تقوم بإضافتها أولاً  
في لحظات مثل هذه السر هو المضي قدما وبدء تقديرك الخاص في وقت مبكر في اللعبة عن طريق تقريب الأرقام التي تقوم بإضافتها إلى أي رقم تريد ، على سبيل المثال إذا كنت تريد أن تضيف مجموعة مكونة من 3 أرقام _ لنقل 123 و 421 و 369 و 876 _ ولكنك تحتاج فقط إلى الإجابة على أقرب 10 لذلك يجب عليك البدء بتقريب جميع الأرقام التي تضيفها إلى أقرب 10 والذي يعني بدلا من إضافة 123 و 421 و 369 و 876 يجب عليك بدلا من ذلك إضافة 120 و 420 و 370 و480 ومن الواضح انه من الأسهل بكثير إضافة هذه الأرقام التي تم تقريبها حيث أنها تملك صفرا في عمود واحد مما يعني أن عملية الجمع ستكون أسرع كثيرا
ما هي الصفقة الكبيرة هنا ؟! ، حسناً في الكثير من الأوقات عندما يريد الناس أن يعرفوا الإجابة  على مسألة التقريب لأقرب 10 يتجهون إلى جمع الأرقام والانتظار لتقريب الناتج النهائي - ولكن هذا أبطأ بكثير - والناتج سيكون نفسه باستخدام أي من الأسلوبين ( لأنك تقرب الناتج النهائي بقدر ما قربت الأرقام وحدها قبل جمعها )  لذلك من المنطقي أن تقوم بالتقريب منذ البداية  في هذه الحالات و تجعل حياتك أسهل . ألا تعتقد ذلك ؟! .

3 استخدم عملية الضرب (عندما تستطيع)
آخر خطوة اليوم هي بسيطة حقاً وواضحة أيضاً بمجرد أن تدرك انه يمكنك (ويجب أن ) تقوم بذلك .
الحيلة التي أتحدث عنها هي أن تتذكر استخدام عملية الضرب قبل الجمع ماذا اقصد لنلقي نظرة على مثال
لنفترض انك تجمع أسعار مجموعة من الكتب التي اشتريتها باستخدام الطريقة السابقة سوف تقوم بتقريب كل شي إلى اقرب دولار منذ البداية عندما تقوم بذلك لديك قائمة من الكتب التي هي 7$ و 14$ و 8$ و 7$ و 11$ و 7$ طريقة واحدة استخدامها لجمع هذه الأرقام هي أن البدء منذ البداية بالتقريب لإيجاد الناتج  

ولكن هذه ليست أفضل طريقة ، بدلاً من ذلك لاحظ أن 3 كتب تكلف 7 دولارات مما يعني أنك سوف تكون أفضل حالاً اضرب أولاً 7$ ×3 والناتج  هو 21$  بعد ذلك نقوم بإضافة هذا المبلغ إلى المبالغ الأخرى للحصول على المجموع الكلي أو بشكل أفضل من ذلك يمكنك أن تلاحظ أن واحد من الكتب الأخرى يكلف 14$ وهو ناتج من(7×2)  
مما يعني انك يمكنك أن تبدأ بضرب 7 في 5 ليصبح المجموع 35$ ثم إضافة هذا المجموع إلى المبالغ  المتبقية للحصول على المبلغ النهائي الذي يقلل الجهد هنا هو أن الضرب أولاً يمكن أن يسرع الأمور حقا .
وأخيراً الخدعة الحقيقية مع كل هذه النصائح الثلاث هي التدريب أو الممارسة. أنا لا اقصد كتابة بعض المسائل وحلها بالممارسة واحدة تلو الأخرى  ( هذا سيكون مملا ) بل اعني اغتنام الفرصة لاستخدام هذه الطرق كلما يمكنك في العالم الخارجي وهذه هي الطريقة الوحيدة التي ستصبح فيها طبيعية ،  وثانياً بهذه الطريقة ستكون من مشجعي الرياضيات

المصدر 


ترجمة : نبأ عبد الأمير 

تدقيق : علي خالد 


اقرأ المزيد ...
جميع الحقوق محفوظة لـفاكهة الرياضيات
تعريب وتطوير ( سيد ضرغام ) Designed By