تحويلات فورييه للصور

      الأصوات التي نسمعها - سواء كانت الموسيقى ، الكلام ، أو ضجيج الخلفية - هو نتيجة اهتزازات طبلة الأذن لدينا ، التي تحفزها الموجات الصوتية المتنقلة عبر الهواء ، والتي تكونت بواسطة سماعات الرأس ، أو الآلات الموسيقية أو الأجهزة الصوتية لدى الناس أو حتى صوت الشخص المزعج الذي يجلس خلفك في السينما حينما يفتح كيس الحلوى . هذه الاهتزازات يمكن رسمها (شدة أو ضغط الموجة المرسومة طول الوقت) يتيح لنا التمثيل البصري للصوت . 

الموجة الصوتية من شوكة ضبط ( في الاعلى) ومقارنتها مع الموجة الصوتية لكلام اللإنسان (في الاسفل)

الموجة الصوتية للوسط A على شوكة ضبط هو مثال ممتاز لعلامة الموجة ، يكتب بصورة رياضيةsin(x)   ، جيب الزاويةX . موجة الصوت للكلام أكثر تعقيداً . لكن أي موجة صوتية ، في الحقيقة أي وظيفة تكرارية يمكن تفصيلها إلى عدد من موجات الجيبsine من مختلف الترددات و السعات (الشدة). ها نتيجة العمل الذي بدأه عالم  الرياضيات الفرنسي فورييه الذي عاش خلال الثورة الفرنسية في القرن الثامن عشر . التعبير عن موجة صوتية أو أي إشارة تغيير على مرور الوقت كمجموع الموجات الجيبية  sines المكونة لها ويعرف بتحويل فورييه لتلك الإشارة    

تختلف الدالة f  في الوقت المناسب ، وهي تمثل موجة صوتية . عملية تحويل فورييه تقوم بالتحلل إلى الموجات الجيبية المكونة لها مع تردات وسعات خاصة ويعمل تحويل فورييه كالمسامير في مجال التردد ، والارتفاع يمثل اتساع الموجة من هذا التردد .

يمكنك كذلك التفكير في صورة معينة كدالة متفاوتة ، ولكن بدلاً من أن تختلف في الزمن فإنها تختلف عبر الفضاء الثنائي الأبعاد للصورة . في الصورة الرقمية ذات النطاق الرمادي فإن كل بكسل يحتوي على قيمة بين 0 و 255 تمثل ظلام ذلك البكسل . ولذلك فإن ظلام أو كثافة ذلك البكسل هو دالة الإحداثيات العمودية والأفقية التي تعطي موقع ذلك البكسل . يمكنك التفكير في الصورة كمناظر طبيعية متموجة ، مع ارتفاع المناظر الطبيعية التي تعطى بواسطة قيمة البكسل 

صورة رقمية لمحررين من موقع Plus، كل بكسل له قيمة بين 0 و 255، مما يمثل اللون الرمادي من هذا بكسل. وعلى اليمين، يتم عرض وظيفة الصورة من نفس الصورة الرقمية، مع قيمة الرمادية u(x,y) مرسومة كارتفاع السطح فوق المستوي (x,y).

 ويمكن التعبير ايضاً عن الصور كمجموع موجات جيبية ، ولكن هذه المرة عوضاً عن موجات ذات بعد واحد فإنها موجات تختلف  ببعدين ، مثل تموجات على ورقة

دالة الموجات الجيبية ببعدين تكتب كالتالي

                                     z =a sin(hx + ky)

بحيث أن الـx  و الـ y تعطي إحداثيات النقاط على الورقة ، و z هو ارتفاع أو كثافة الموجة في تلك النقطة ، a يعطي السعة (الارتفاع الأقصى) للموجة . والـ h والـ k يعطيان عدد المرات التي تتكرر فيها الموجة في الاتجاهين x  و  yعلى التوالي (وهما الترددان x  و y) . 

الموجات  sin(x) و sin(2y)  و sin(x+y)

وعندما تكون قيمة k=0 فإن الموجة الجيبية تتقلب فقط على طول المحور x ، وعندما تكون قيمة h=0 فإنها تتقلب على طول المحور y . لكن إذا كان كلاً من h  و K لا يساويان صفراً فإن الموجة الجيبية تتحرك قطرياً عبر الورقة ، مع موجات تنتقل في اتجاه ( عمودي على اتجاه تقدم الموجة) زاوية مع الميل h/k .

إضافة تلك الموجات معاً يتضمن فقط إضافة القيم ، أو الارتفاعات للموجات عند كل بكسل  . ويمكن للموجات أن تتداخل بصورة جزئية لخلق موجة نهائية ذات قيمة أعلى في تلك النقطة . ويمكن للموجات أن تتداخل بشكل مدمر وتلغى . إذا كان اتساع أحد الموجات المكونة أكبربكثير من اتساع الموجات الأخرى فإنه سيهيمن .

الموجات sin(x)+sin(y) و 5sin(x)+sin(y) و sin(x)+5sin(y) . يمكنك ان ترى كم هو كبير حجم سعة الموجة 5sin(x) في الصورة الوسطى و 5sin(y) في الصورة التي على اليمين تهيمن على الموجة الناتجة

تحويل فورييه لصورة يحلل دالة الصورة (المناظر الطبيعية المتموجة) إلى مجموع الموجات الجيبية المكونة لها . كما هو الحال بالنسبة لموجات الصوتية فإن تحويل فورييه يرسم خلاف التردد الخاص بالصورة . ولكن خلافاً لتلك الحالة فإن فضاء التردد له بعدان ، بالنسبة للترددين h و K في البعدين x و y . ولذلك يتم رسمها ليس كلوحة مسامير ولكن كصورة وتقريباً مع نفس الأبعاد بالبكسل كما في الصورة الأصلية .

ولكل بكسل في تحويل فورييه احداثيات (h,k) تمثل إحداثي الموجة الجيبية X مع التردد h و Y مع التردد k في تحويل فورييه . نقطة المركز تمثل الموجة (0,0) - مستويات مسطحة بدون تموجات - وكثافتها (سطوعها بالألوان في المقياس الرمادي) هو معدل قيمة البكسل في الصورة . النقاط على يسار ويمين المركز تمثل الموجة الجيبية التي تختلف على طول المحور X (أي أن k=0 ) .  سطوع هذه النقاط يمثل شدة الموجة الجيبية مع هذا التردد في تحويل فورييه (الكثافة هي مربع اتساع الموجة الجيبية) . أما تلك العمودية فوق وتحت نقطة المركز فتمثل تلك الموجات الجيبية التي تختلف في المحور Y ولكنها تضل ثابتة في X (أي أن h=0) والنقاط الأخرى في تحويل فورييه تمثل مساهمات الموجات القطرية .

موجة sin(x) تمثل كصورة رمادية وتحويل فورير لتلك الصورة

على سبيل المثال : اعتبر أن الصورة أعلاه التي على اليسار  هذه موجة جيبية بعدين (التي رأيناها بوقت سابق) تظهر صورة رمادية . وبجانبها هو تحويل فورييه لهذه الصورة الرمادية ولها نفس الأبعاد بالبكسل للصورة الأصلية والتي هي سوداء بالكامل باستثناء بعض البكسل المشع في المركز . وإذا قمنا بتكبير مركز صورة تحويل فورييه (التي يمكنك رؤيتها أعلاه على اليمين) يمكنك ان ترى أن هناك بالضبط ثلاثة من البكسلات ليست سوداء . واحدة من هذه النقاط المشعة في المركز تحمل الاحداثيات (0,0) تمثل مساهمة الموجة (0,0) في الصورة. البكسلات اللامعة على الجانبين مع الاحداثيات (1,0) وانعكاسها (0 , 1- ) تمثل مساهمة الموجة (1,0) (الموجة الجيبية في الصورة الأصلية) . كل ما تبقى من البكسلات في تحويل فورييه سوداء ، كما في الصورة الأصلية بالضبط باستخدام الموجة الأصلية (1,0) . 

في الاعلى : الموجة sin(20x) +sin(10y) وتحويل فورير والتي تمثل اثنين من الازواج المشرقة من البكسلات للاحداثيات (20,0) , (0,10) وانعكاساتها وتمثل هذه التركيبات من موجتين
في الأسفل : الموجة sin(100x+50y) وتحويل فورييه والتي تبين فقط زوج من البكسلات المضيئة في الاحداثيات (100,50) وانعكاساتها

وتحويل فورييه من تركيبات بسيطة من الموجات التي لها نقاط مضيئة قليلة فقط . ولكن لصور أكثر تعقيداً ، كالصور الرقمية فهناك العديد والعديد من النقاط المضيئة في تحويل فورييه لها كما أنها تأخذ العديد من الموجات للتعبير عن الصورة .

في تحويل فورييه للعديد من الصور الرقمية الملتقطة بصورة طبيعية ، غالباً ما تكون هناك كثافة على طول المحورين X و Y لتحويل فورييه ، مما يعني أن الموجات الجيبية الممتدة على طول هذين المحورين فقط تلعب دوراً كبيراً في الصورة النهائية . 

وذلك لأن هناك العديد من المميزات الأفقية والرأسية والمتناظرة في العالم حولنا - الجدران ، سطوح الطاولات ، حتى الأجسام متناظرة حول المحاور العمودية . يمكنك أن ترى ذلك بتدوير الصورة قليلاً (لنقل بنسبة 45%) . عندها سيكون لتحويل فورييه كثافة قوية على طول زوج من الخطوط العمودية التي يتم تدويرها بنفس المقدار . 

محرري موقع plus وتحويل فورييه ، والتي تبين سلسلة من المساهمات من الموجة العمودية التي تمثلها نقاط مضيئة على طول المحور الرأسي

محرري موقع plus مع تدوير 45 درجة وتحويل فورييه لهم

تحويلات فورييه هي ادوات مفيدة بشكل لا يصدق للتحليل والتلاعب بالأصوات والصور . وبالخصوص في الصور، إنها الآلات الرياضية وراء ضغط الصورة (كصيغة JPEG)، تصفية الصور، والحد من التشويش والضوضاء.

الصور ذات البعدين للموجات الجيبية ، السطوح ، و تحويلات فورييه صنعت بواسطة برنامج الماتلاب . في حالة إذا ما كنت تحب أن تجرب بنفسك يمكنك ان تستخدم الأوامر التي استخدمناها من هنا 

المصدر 

من هنا 

ترجمة : علي خالد

تدقيق : زهراء علي