آخر الأخبار

الأربعاء، 14 مارس 2018

9 حقائق مدهشة عن الـπ

من ترجمة علي خالد 

المهووسون في الرياضيات في كل مكان يحفرون في شريحة من فطيرة البقان للاحتفال بإيقونة الرياضيات العدد الغير نسبي  pi  . في اليوم الرابع عشر من شهر آذار من كل سنة أو 3/14 هو الوقت المثالي لتكريم هذا الثابت الرياضي الأساسي والذي تكون مراتبه الأولى هي 3.14  .
pi أو π هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ، ولأنه غير نسبي لايمكن كتابته على شكل كسر . عوضاً عن ذلك فهو رقم طويل غير متناهي وغير مكرر .
ولكن ، كيف اكتُشِف هذا العدد الغير نسبي؟! ، وبعد آلاف السنين من الدراسة ، هل لازال هذا العدد يملك اسراراً ؟!! من أصله القديم إلى مستقبله الغامض .

وهنا بعض الحقائق المدهشة حول الـ باي

حفظ الـ الباي

الرقم القياسي لحفظ أغلب المراتب العشرية للعدد pi يعود إلى Rajveer Meena من الهند، الذي تلا 70 الف مرتبة عشرية الـ pi في 21 آذار عام 2015 وفقاً لموسوعة غينس للارقام القياسية ، في السابق كان Chao Lu من الصين الذي تلا 67890 مرتبة في عام 2005 يحمل الرقم القياسي وفقاً لغينس .
صاحب الرقم القياسي الغير رسمي هو Akira Haraguchi الذي صور شريط فيديو لاداء تلاوته من 100 الف مرتبة عشرية في عام 2005 . وأكثر اعلى ارقام عشرية مؤخراً هي 117000 كما ذكرت صحيفة الغارديان .
عدداً من المتحمسين يحفظون العديد من مراتب الـ pi ، والعديد من الاشخاص يستخدمون وسائل مساعدة للذاكرة ، مثل تقنيات التذكر المعروفة باسم piphilology لمساعدتهم على التذكر ، في كثيراً من الاحيان يستخدمون القصائد المكتوبة بلغة البايلش (حيث يتطابق عدد الحروف في كل كلمة مع رقم pi) مثل هذا المقتطف 
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.
Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees,
Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.

 لغة الباي


اخترع المهووسون الادبيون لهجة تعرف باسم البايليش ، حيث تتطابق ارقام الحروف في كلمات متتالية مع ارقام pi على سبيل المثال كتب  Mike Keith كتاباً بعنوان " ليس يقضاً " - في دار نشر Vinculum عام 2010 - بالكامل في لغة البايلش :
 Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees,
Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.
حيث تحتوي كلمة Now على 3 حروف و I على حرف واحد و fall على 4  ، وهكذا ..

 

زيادة أسية 


لأن الـpi عدد غير نهائي فإن البشر بطبيعتهم غير قادرين على تحديد كل مراتب هذا العدد ، ومع ذلك فقد ازداد عدد المنازل العشرية المحسوبة بشكل كبير منذ استخدام pi  لأول مرة . اعتقد البابليون ان الكسر 3 1/8 . كان جيداً بما فيه الكفاية في عام 2000 قبل الميلاد . في حين أن الصينيين القداء وكتاب العهد القديم بدوا سعداء تماماً لاستخدام العدد الصحيح 3 . ولكن بحدود عام 1665 كان السير اسحاق نيوتن قد حسب pi إلى 16 منزلة عشرية . 
بحلول عام 1719 احتسب عالم الرياضيات الفرنسي توماس فانت دي لايني Thomas Fantet de Lagny  احتسب 127 مرتبة عشرية وفقاً لـ " تاريخ الـ pi " دار نشر مارتين في علم 1976 " الارقام الأكثر ضخامة في الوجود " .
أدى ظهور اجهزة الكومبيوتر إلى زيادة معرفة البشر بالعدد pi بشكل جذري . بين عامي 1949 و 1967 ارتفع عدد المنازل العشرية المعروفة للـ pi من 2037 على حاسوب ENIAC إلى 500.000 على CDC6600 في باريس وفقاً لـ " تاريخ الـ pi " دار نشر مارتين في علم 1976 " . وفي اواخر عام 2016 استخدم Peter Trueb وهو عالم في شركة Dectris السويدية كمبيوتر ذات مؤثرات ترابط متعددة لحساب 22,459,157,718,361 مرتبة من مراتب الـ pi على مدار 150 يوم 

حساب الباي يدوياً


أولئك الذين يرغبون بحساب الـ pi باستخدام اساليب قديمة يمكنهم ان ينجزوا المهمة باستخدام مسطرة ، وعلبة ، وقطعة خيط أ, منقلة وقلم رصاص . الجانب السلبي في مسألة العلبة هو انه تتطلب علبة قابلة للدوران بالفعل ، والدقة هنا محدودة بمدى قدرة الشخص على عقد الخيط حول محيطها . وبالمثل فإن رسم دائرة بالمنقلة ثم قياس قطرها أو نصف قطرها بمسطرة يتطلب قدراً من البراعة والدقة . الخيار الأكثر دقة هو استخدام الهندسة . تقسيم الدائرة إلى شرائح متعددة ( مثل شرائح البيتزا الثمانية أو العشرة )  ثم قم بحساب طول الخط المستقيم الذي يحول الشريحة إلى مثلث متساوي الساقين ، له وجهان متساويان الطول . تؤدي إضافة جميع الجوانب إلى تقدير تقريبي للـ pi  ، وكلما زادت الشرائح التي تنشئها كلما كان التقريب أكثر دقة .

اكتشاف الباي

بردية ريند الرياضية

عرف البابليون القدماء بوجد 4000 سنة . لوح بابلي وجد بين عامي 1900 و 1680 قبل الميلاد يحسب الـpi كـ 3.125 وبردية ريند الرياضية في عام 1650 قبل الميلاد وهي وثيقة رياضية مصرية مشهورة تسرد قيمة 3.1605 . يعطي كتاب الملك جيمس James Bible تقريباً للـpi في الأذرع وهي وحدة طولية قديمة تقابل طول الساعد من المرفق إلى طرف الأصبع الأوسط (تقدر بحوالي 18 بوصة ، أو 46 سنتيمترًا) ، وفقا لجامعة  University of Wisconsin-Green Bay. يقرب عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) الـ pi باستخدام نظرية فيثاغورس، وهي علاقة هندسية بين طول جوانب المثلث ومساحة المضلعات داخل وخارج الدوائر.

اعادة تسمية علامة الـpi 

Leonhard Euler

قبل ان يقترن الرمز pi بالنسبة الثابتة للدائرة كان على علماء الرياضيات قول الكثير من الكلمات لوصف العدد . احدى العبارات وجدت في كتب الرياضيات مكتوبة باللاتينية  "quantitas in quam cum multiflicetur diameter, proveniet circumferencia," والتي تترجم تقريباً إلى " الكمية التي عندما يضاعف القطر بواسطتها ، تعطي محيطاً . كما ذكر ذلك موقع History Today .  وصل العدد الغير نسبي إلى الشهرة عندما استخدمه الموسوعي السويسري وعالم الرياضيات ليونارد أويلر Leonhard Euler في عام 1737 م. في كتاباته عن علم المثلثات لكنها لم تحصل على ثقلها ، والرمز الأغريقي π سمي من قبل أويلر . أول ذكر لـpi وجد في كتاب لعالم رياضيات أقل شهرة وهو وليام جونز William Jones ، الذي استخدمه في عام 1706 م. في كتابه " مقدمة جديدة في الرياضيات " استخدم جونز على الارجح الرمز pi للدلالة على محيط الدائرة ، وفقاً لكتاب " تاريخ الـ pi " 

هل الـ pi قياسي

الـ pi عدد عجيب بكل تأكيد ، لكن هل هو قياسي؟! على الرغم من أن علماء الرياضيات توصلوا إلى العديد من اسرار هذا العدد الغير نسبي ، إلا أنه لا تزال هناك بعض الاسئلة التي لم تتم الاجابة عليها .
مازال علماء الرياضيات لا يعرفون ما إذا كان الـ pi ينتمي إلى الأعداد القياسية - أو الارقام التي لها نفس التكرار لكل المراتب - مما يعني أن الارقام من 0 إلى 9 تتكرر كل 10 بالمائة من المراتب ، وفقاً لحسابات Trueb  كما ذكر موقع pi2e.ch . وفي بحث نشر في 30 نوفمبر 2016 في مجلة arXiv حسب Trueb انه على الأقل بالنسبة إلى 2.24 ترليون مرتبة فإن تكرار الارقام من 0 إلى 9 أمر طبيعي . بالطبع ، بالنظر إلى كون الـpi لها عدد لا نهائي من الارقام ، فإن الطريقة الوحيدة لإظهار ذلك هي بالتأكيد انشاء برهان رياضي محكم . حتى الآن فإن البراهين على هذا الراقام الغير نسبية المشهورة قد استعصت على العلماء ، على الرغم من أنهم توصلوا إلى بعض الحدود عن خصائصها وتوزيع مراتبها العشرية . 

الـ pi صوتاً إلهياً 


على الرغم من أن العلماء لا يعرفون فيما إذا كان الـpi قياسي أو لا ، إلا أنهم يملكون فهماً أفضل لخصائصه الأخرى . أثبت يوهان هاينرش لامبرت Johann Heinrich Lambert عالم الرياضيات في القرن الثامن عشر أنه عدد غير نسبي من خلال التعبير عن tan x باستخدام كسر مستمر .
في وقت لاحق أضهر علماء رياضيات أن pi هو عدد متسامي ايضا . في الرياضيات يكون العدد متسامي الذي لا يمكن أن يكون حلاً لأي متعددة حدود تحوي معاملات من الاعداد النسبية . بمعنى آخر لاتوجد صيغة منتهية يمكن استخدامها لحساب pi باستخدام اعداد نسبية . 

 

الاصدار السابق للـ pi 


على الرغم من ان العديد من محبي الرياضيات مفتونون بالـ pi ، إلا أن هناك حركة مقاومة تتنامى . يجادل البعض أن pi هي كمية مشتقة وأن قيمة التاو Tau -التي تساوي الـpi مرتين - هو أكثر بديهية كونه عدداً غير نسبي .
يرتبط Tau بالمحيط مباشرة إلى نصف القطر ، وهو قيمة ذات اهمية حسابية أكثر ، كما ذكر مايكل هارتل Michael Hartl مؤلف كتاب " بيان الـ Tau وهو يعمل بشكل أفضل في الحسابات المثلثية بحيث أن Tau / 4  بالقياس الدائري تتوافق مع الزاوية التي ترسم ربع دائرة على سبيل المثال .

المصدر 
اقرأ المزيد ...

الأحد، 11 فبراير 2018

المصممين يستخدمون الرياضيات أكثر من غيرهم


أجرت LeonaHenryson تحقيقًا عن ما لا يعرفه المصممين من تأثير للرياضيات في مجال عملهم إذا كنت تسأل مصمم ما إذا كان هو أو هي يعتبر نفسه أو تعتبر نفسها موهوبة بشكل خاص في الرياضيات، على الأرجح فإن الجواب سيكون ، لا.  ويرجع ذلك إلى أن العديد من الناس الذين يسعون إلى المجالات الفنية يعتقدون أن المهارات المطلوبة للفن و التصميم ببساطة ليس لها علاقة بالمهارات المطلوبة للمهام الرياضياتية  كثير من هؤلاء الأفراد لايدركون أن الرياضيات هي جزء لا يتجزأ من التصميم. في الواقع، مفاهيم مثل الأنماط، التماثل، الفضاء، الإيجابية والسلبية، الترتيب، والتسلسل هي في غاية الأهمية للتصميم وكلها لها أساس في الرياضيات. 

الُكسيريات (فركتلات) :

 الكسيريات وتكرار ألأنماط الهندسية التي تتجمع لتشكل ككل.في الطبيعة كسيريات تشكل الأوراق، الثلج، والهياكل الجيولوجية، وبلورات الجليد. يمكنك حتى فتح برتقالة لرؤية شكل متكرر من اللب مملوء السوائل.هذه هي أيضا كسيريات. 

 

الخلايا البشرية عند فحصها تحت المجهر مصنوعة أيضا من تكرار كسيريات صغيرة.يمكن للعلماء استخدام الحواسيب والصيغ الرياضياتية لخلق نماذج من أي شيء تقريبا على أساس الكسيريات ، كلما تحتاج إلى معرفته هو شكل كسيرية في أصغر مستوى ومن ثم الحصول على كسيرية مضاعفة. 
 
المصممين يستخدمون الكسيريات في كل شيء من تصميم الملابس لخلفيات الموقع. و التعرجات هي مثال على الطرق التي يمكن من خلالها للكسيريات أن تصل إلى التصميم. وفيما يلي مثال على الكسيريات المستخدمة لأغراض التصميم .

 متتالية فيبوناتشي :

دعونا لعب لعبة سريعة. نلقي نظرة على التسلسل التالي من الأرقام ومحاولة تحديد أي عدد سيأتي بعدها؟ ...55،34،21،13،8،5،3،2،1،1،0 فكر جيدًا...!
إذا كنت تفكر في89،جوابك صحيح تماما.النمط في هذه الأرقام هو تسلسل فيبوناتشي. نلقي نظرة على الأرقام مرة أخرى. كل رقم هو مجموع الرقمين اللذين يسبقانه. تسلسل فيبوناتشي، تحتاج فقط إلى متسلسلة مع عدد بداية ثم مضاعفة هذا العدد لبدء النمط.

قد تتسائل في هذه المرحلة ما علاقة كل من هذا مع الفن. عندما يتم ترجمة هذه الأرقام إلى أشكال أنماط مختلفة تظهر بما في ذلك اللوالب، الأزهار، والتفرعات. ويمكن رؤية هذه الأشكال في الطبيعة وفي الفن. 
 
اللوالب، كما تعلمون تظهر كثيرا في التصميم. مرتبة بطرق أخرى، أرقام فيبوناتشيت شكل أساس النجوم و العديد من الأشكال الهندسية الأخرى . حتى الوجه. الإنساني يتبع عن كثب هذا النمط. . 
 
الهندسة المعمارية التاريخية مثل الأهرامات و البارثينون تحتوي أيضا على تسلسل فيبوناتشي إذا قمت بفحصها عن كثب. لمعرفة المزيد عن الطرق التي أثرت على هذا النمط من الأرقام في الفن، يمكنك القيام ببعض البحوث على اعمال دافنشي .وهو معروف جدا بإدراجه النسبة الذهبية لفيبوناتشي في عمله . 

المصدر :


ترجمة : ضرغام لبنان
تدقيق : نبأ عبد الأمير
اقرأ المزيد ...

الجمعة، 2 فبراير 2018

كيف تتلون السحالي : من علم الأحياء إلى الرياضيات .

ابتداءا من سمكة المهرج وانتهاءاً بالفهود ، أنماط لون الجلد في الحيوانات تنشا من التفاعلات المجهرية بين الخلايا الملونة التي تنصاع للمعادلات التي اكتشفها عالم الرياضيات آلان تورينج .




اليوم نشر باحثون من جامعة جنيف (UNIGE) في سويسرا ، والمعهد السويسري للمعلومات الحيويةSIB  بتقديم تقرير في مجلة الطبيعة أن سحلية جنوب غرب أوربا تكتسب ببطء اللون المعقد لجلد الكبار منها عن طريق تغيير لون جداول الجلد الفردية باستخدام نظام الحوسبة الباطنية الذي اخترع في علم 1948 من قبل عالم رياضيات آخر ، جون فون نيومان . 
وأظهر الفريق السويسري أن الهندسة ثلاثية الأبعاد لجداول جلد سحلية يسبب آلية تورينج للتحول إلى نظام الحوسبة فون نيومان ، مما يسمح للبحوث التي تحركها البيولوجيا لربط - ولأول مرة - العمل الرياضي لهذين العالمين العملاقين .
أدرك فريق متعدد التخصصات من علماء الأحياء والفيزيائيين وعلماء الكمبيوتر بقيادة ميشال ميلينكوفيتش البروفسور في قسم الوراثة والتطور في كلية العلوم جامعة جنيف بسويسرا وقائد المجموعة في المعهد السويسري للمعلومات الحيويةSIB  أدرك أن السحلية المرصعة ذات اللون البني (Timon lepidus) يتحول لون بشرتها تدريجياً مع التقدم بالعمر للوصول إلى نمط المتاهة المعقد عند الكبار منها بحيث يكون كل نطاق أما أسود أو أخضر. 
هذه الملاحظة الغريبة عن آلية تطور اللون لدى السحالي، اكتشفت في عام   1952 من قبل عالم الرياضيات آلان تورنج ، التي تتضمن التفاعلات المجهرية بين الخلايا الملونة . ولفهم السبب وراء تشكل النمط في منطقة القشرة بدلاً من منطقة الخلايا البيولوجية قام طالبا دكتوراه ليانا مانوكيان Liana Manukyan  وصوفي مونتاندون Sophie Montandon بتتبع سحالي فردية خلال أربعة سنوات من تطورهم من الفقس والزحف من البيضة إلى حيوانات ناضجة تماماً . لعدة نقاط زمنية ، أعادوا بناء هندسة ولون شبكة من القشرة باستخدام نظام روبوتي عالي الدقة طور مؤخراً في مختبر ميلينيكوفتش

التقلب من الأخضر إلى الأسود
ثم فوجئ الباحثان لرؤية قشرة السحلية المرصعة تتحول من اللون البني إلى الأسود أو الأخضر ، ثم يستمر تقلب اللون (بين الأخضر والأسود) خلال حياة الحيوان . دفعت هذه الملاحظة الغريبة جداً ميلينكوفيتش أن تشير إلى شبكة قشرة الجلد تُشكل ما يسمى " أوتومات خلوي " . 


وقد اخترع نظام الحوسبة الغير اعتيادي هذا في عام 1948 من قبل عالم الرياضيات جون فون نيومان " John von Neumann " . الاوتومات الخلوي هي شبكة من العناصر حيث يغير كل عنصر حالته (هنا ، لونها أخضر أو اسود) تبعاً لحالة العناصر المجاورة . وتسمى العناصر بالخلايا ولكن ليس المقصود منها تمثيل الخلايا البيولوجية ، في حالة السحالي ، فإنها تتوافق مع قشرة البشرة.  

وهذه الأوتومات المجردة تستخدم بشكل واسع لنمذجة الظواهر الطبيعية ، ولكن فريق UNIGE أكتشف ما يبدو أنه أول حالة لأوتومات حقيقي من بعدين 2D تظهر في الكائنات الحية . وأتاحت تحليلات السنوات الأربع لتغيير الألوان للباحثين السويسريين تأكيد فرضية ميلينكوفيتش : القشور كانت في الواقع تقلب اللون تبعاً للون القشور المجاورة . 

المحاكاة الحاسوبية التي تنفذ القاعدة الرياضية المكتشفة ولدت أنماط الألوان التي لا يمكن تمييزها عن أنماط السحالي الحقيقية . 





كيف يمكن للتفاعلات بين الخلايا الصبغية ، التي وصفتها معادلات تورينج والتي تولد اوتومات فان نيومان أن تكون مطابقة بالضبط لقشرة الجلد ؟! . جلد السحلية ليس مسطحاً : انه رقيق جداً بين القشور وأكثر سمكاً في وسطها . 


وبالنظر إلى أن آلية تورينج تتضمن تحركات الخلايا أو نشر الإشارات التي تنتجها الخلايا ، وفهم ميلينكوفيتش أن هذا التنوع في سمك الجلد يمكن أن تؤثر على آلية تورنج . ثم أجرى الباحثان عمليات محاكاة حاسوبية تتضمن سماكة الجلد وشاهدوا ضهور سلوك الاوتومات الخلوي ، مما يدل على أن الأوتومات الخلوي كنظام حاسوبي ليست مفهوم مجرد طور بواسطة جون فون نيومان فحسب ، ولكنه أيضاً يتوافق مع عملية طبيعية ناتجة عن التطور البايلوجي

الحاجة إلى تحليل قانون رياضي 



مع ذلك فإن سلوك الأوتومات كان غير تام من الناحية الرياضية المعتمدة على آلية تورينج و اوتومات فان نيومان المختلفتين . ودعا ميلينكوفيتش عالم الرياضيات ستانيسلاف سميرنوف Stanislav Smirnov الأستاذ في UNIGE  والحاصل على ميدالية فيلدز عام 2010 . 
قبل فترة طويلة ، اشتق سميرنوف ما يسمى بتقطيع أو تحريف معادلات تورينج التي من شأنها ان تشكل صيغة اتصال مع اوتومات فان نيومان .

أنامريجا فوفونيكا، طالبة الدكتوراه الثالثة في فريق ميلينكوفش نفذت معادلات سميرنوف الجديدة في محاكاة حاسوبية ، الحصول على النظام الذي أصبح غير قابل للاشتقاق من اوتومات فان نيومان . 

وكان فريق الباحثين من التخصصات المتعددة قد أغلق الحلقة في هذه الرحلة المدهشة من علم الأحياء إلى الفيزياء إلى الرياضيات .. والعودة إلى علم الأحياء .


المصدر 



ترجمة : علي خالد 

تدقيق مرتضى عادل 


اقرأ المزيد ...

الأحد، 24 ديسمبر 2017

كيف تتعلق المسافات بالقيم المطلقة ؟



تعلم كيفية استخدام القيم المطلقة لإيجاد المسافات.

   في ((المقال السابق))، علمنا بالضبط ما هي القيم المطلقة وكيف يمكنك العثور على القيمة المطلقة لعدد. في مقال اليوم، نحن في طريقنا لوضع هذه المعرفة للعمل والتعرف على المهارات العملية لاستخدام القيم المطلقة للعثور على مسافات بين الأرقام والأماكن.

مراجعة: ما هي القيم المطلقة؟
       كما تحدثنا عن آخر مرة، الطريقة السريعة للتفكير في القيم المطلقة هي أن القيمة المطلقة لعدد يخبرك ببساطة كم يبعد هو عن الصفر على خط الأعداد. على سبيل المثال، لأن الأرقام 5 و -5 على حد سواء 5 خطوات بعيدا عن الصفر على خط الأعداد، فإن كلاهما له نفس القيمة المطلقة 5.

ما هي المسافة؟
      هل فكرة القيمة المطلقة لعدد التي تخبرك كم عدد الخطوات يبعدها عن الصفر على خط الأعداد تذكرك بأي شيء في العالم الحقيقي؟ ... ربما فكرة المسافة؟ الصلة هنا هو في الواقع واضحة جدا، ولكن دعونا نأخذ دقيقة للنظر في مثال من شأنه أن يوضح العلاقة بين القيم المطلقة في الرياضيات والمسافات بين الكائنات والأشياء في العالم الحقيقي.

       كما تعلمون، فإن المسافة بين اثنين من الأشجار في الفناء الحديقة هو مجرد عدد يخبرك مدى البعد بين الشجرتين. إذا رسمت نظام الإحداثيات في الحديقة (الذي هو في الحقيقة مجرد خط الأعداد) وتجعل واحدة من الأشجار في أصل نظام الإحداثيات المرسوم (اي موقع الصفر)، فإن المسافة إلى الشجرة الأخرى هي القيمة المطلقة ل موقعها في نظام الإحداثيات الذي رسمته. على سبيل المثال، إذا كانت شجرة واحدة في موقع مؤشر بـ 0 والشجرة الأخرى هي 7 خطوات بعيدا في أي اتجاه اخترته أن يكون الاتجاه الإيجابي، فإن المسافة إلى الشجرة الأولى هي |7|=7. إذا كانت الشجرة الثانية بدلا من ذلك في -7 في نظام الإحداثيات (في الاتجاه المعاكس)،فإن المسافة إلى الشجرة الأولى هي |-7|=7. وبعبارة أخرى، مستقلة عن الاتجاه، الشجرة الثانية هي دائما 7 خطوات بعيدا عن الأولى.

كيفية العثور على المسافة بين الأرقام الإيجابية والسلبية
     لذلك نحن نعلم أن القيمة المطلقة لنُقطة على خط الأعداد (أو القيمة المطلقة للإحداثيات لشجرةٍ في الحديقة) يخبرك المسافة بين تلك النقطة (أو شجرة) والرقم صفر في منطقة الأصل نظام الإحداثيات. ولكن كيف نجد المسافة بين أي رقمين؟ وبعبارة أخرى، ماذا لو لم تكن الشجرة الأولى في مثالنا موجودة في نقطة أصل نظام الإحداثيات؟ ماذا لو شجرة واحدة في الإحداثي 2 والأخرى في الإحداثي -5؟ كيف تجد المسافة بينهما في هذه الحالة؟

      دعونا نبدأ بملاحظة أن هذه المشكلة مع الأشجار هي نفس المشكلة في معرفة المسافة بين الأرقام 2 و -5. ونحن نعلم أن المسافات من 2 إلى 0 ومْن -5 إلى 0 يتم إعطاء كل من القيم المطلقة | 2 | = 2 و | -5 | = 5. وإذا كنا نفكر حول موقع 2 و -5 على خط الأعداد، يمكننا أن نرى أن المسافة بين هذين الرقمين تُساوي المسافة من -5 إلى 0 بالإضافة إلى المسافة من 0 إلى 2. وبعبارة أخرى، فإن المسافة بين -5 و 2 تساوي | -5 | + | 2 | = 5 + 2 = 7.

     ولكن هل هذا صحيح دائما؟ هل المسافة بين أي زوج من الأرقام تساوي دائما مجموع قيمُها المطلقة؟ على سبيل المثال، ماذا لو أردنا أن نجد المسافة بين الأرقام 2 و 5 بدلا من 2 و -5. هل يمكننا فقط إضافة المسافة من 0 إلى 2 إلى المسافة من 0 إلى 5 للحصول على | 2 | + | 5 | = 7. هل 7 هي المسافة بين 2 و 5؟ لا! كما يمكنك أن ترى بسهولة من خلال النظر في خط الأعداد، المسافة من 2 إلى 5 ليست 7 ... انها 3!

كيفية العثور على المسافة بين أي رقمين
    فما الخطأ الذي حدث؟ حسنا، بما أن القيمة المطلقة للرقم الواحد هي مسافته عن الصفر، فإن مجموع القيم المطلقة لرقمَين ليست المسافة بينهما، إنها مجموع مسافات الرقمين عن الصفر. عندما يكون عدد موجب والآخر سالب، فإنه نفس الشيء بالنسبة للمسافة بين الأرقام. لكنه لا يعمل عندما يكون كل من الأرقام إما موجبة أو سالبة.

     حسنا، ولكن ما هي الطريقة الصحيحة لحساب المسافة بين أي زوج من الأرقام؟ الطريقة السريعة هي أن المسافة بين أي زوج من الأرقام تُعطى بالقيمة المطلقة للفرق بينهما. لمعرفة ما يعنيه هذا، دعونا نعود لإيجاد المسافة بين الأرقام 2 و 5. القيمة المطلقة للفرق بينهما هي | 5-2 | = | -3 | = 3 ... والتي، كما يمكنك التحقق من خلال النظر في خط الأعداد، هي بالضبط المسافة بين 2 و 5! وكما يمكنك أيضا التحقق، هذا يعمل على أي زوج من الأرقام. القيمة المطلقة للفرق بين رقمين، أو اثنين من إحداثيات على الخريطة، أو موقعين من الأشجار في الحديقة، تخبرك مقدار المسافة بينهما دائما.

المصدر 


ترجمة : علياء تكليف
تدقيق : علي خالد


اقرأ المزيد ...

الخميس، 5 أكتوبر 2017

ما هي القيم المطلقة؟


تعرف على القيم المطلقة وكيفية العثور عليها.

 

       ليس هناك العديد من المصطلحات في عالم الرياضيات التي تبدو أكثر جدية من "القيمة المطلقة". وأحيانا الأشياء التي تكون جادة من الصعب فهمها. فهل هذا صحيح للقيم المطلقة؟ الحمد لله، لا. أولا وقبل كل شيء، فهي ليست بنفس الجدية التي تبدو عليها. وثانيا، كما سترى قريبا، فهم القيم المطلقة سهل ... واتضح أنها تكون مهمة جدا أيضا.

ما هي الأرقام "الصغيرة"؟

     سنتحدث عن ماهية القيم المطلقة بالضبط في دقيقة واحدة، ولكن للحصول على فكرة عن سبب أهميتها، فلنأخذ لحظة للحديث عن أعداد صغيرة جدا جدا. هل لاحظت فيما مضى أنه من السهل أن تفشل عند استخدام كلمة "صغيرة" لوصف الأرقام؟ في حين أنه صحيح أن عدد قليل جدا مثل 0.001 هو "صغير"، فإنه لا يزال أكبر بكثير من عدد سلبي مثل -1,000,000 ...فقط فكر أين تقع تلك الأرقام على خط الأعداد اذا احتجت الى شيء اكثر اقناعا.

      ولكن هناك معنى آخر للكلمة "صغيرة" حيث عدد مثل 0.001 هو في الواقع يكون بالتأكيد أصغر بكثير من عدد -1,000,000. إذا ما هو هذا المعنى؟ حسنا، إنه شيء ما مرتبط بما يسمى "حجم" الأرقام. و، كما كنت قد خمنت، هذا له علاقة مع الموضوع الرئيسي اليوم: القيم المطلقة. فما هي؟

ما هي القيم المطلقة؟

      طريقتنا للتفكير في القيم المطلقة هي أن القيمة المطلقة لعدد يخبرك ببساطة كم يبعد هذا العدد عن الصفر. نبدأ من خلال تخيل خط الأعداد  في ذهنك، الصفر في الوسط، والأرقام السلبية على يسارك، والأرقام الموجبة على يمينك ... أنت تعرف الشكل الآن. القيمة المطلقة للرقم الموجب مثل 2 تساوي 2 فقط لأن هذه هي المسافة التي يبعدها من الصفر على خط الأعداد. القيمة المطلقة للعدد 1,000,000 على خط الأعداد هو فقط 1,000,000 حيث، مرة أخرى، هذا هو مجرد كم يبعد العدد عن الصفر. فما القيمة المطلقة للصفر نفسه؟ حسنا، إنها مجرد صفر، أليس كذلك؟ من الأفضل أن تكون كذلك، حيث أن الصفر يبعد عن نفسه صفر من الوحدات على خط الأعداد!

ما هي القيمة المطلقة لعدد سالب؟

      ولكن الأمور تصبح أكثر تعقيدا قليلا عندما نتحدث عن القيم المطلقة للأرقام السالبة. على سبيل المثال، ما هي القيمة المطلقة لـ 3- ؟ حسنا، كم يبعد العدد 3- عن 0 ؟ إذا كنت تفكر في خط الأعداد، سترى أن 3- هو 3 خطوات بعيدا عن 0 . وهو ما يعني أن القيمة المطلقة ل 3- تساوي 3. فلا يهم إذا كانت الخطوات في الاتجاه الموجب أو السالب، كل ما يهم هو العدد الإجمالي للخطوات بعيدا عن الصفر.

     وبعبارة أخرى، فإن القيمة المطلقة لعدد ما تخبرنا عن قياسه - المعروف أيضا بحجمه- ولا تخبرنا أي شيء عن اتجاهه بعيدا عن الصفر. وهو ما يعني أنها لا تخبرنا بأي شيء عن علامة الرقم. وبالحديث عن الحجم، نستطيع أن نلاحظ الآن أن العدد 0.001 بالتأكيد أكبر من 1,000,000- ، لكن حجمه أصغر بكثير. لذلك، على الأقل في هذا المعنى، 0.001 هو في الواقع عدد "صغير".

كيفية كتابة القيم المطلقة

      يشار إلى القيمة المطلقة لعدد في الكتابة عن طريق وضع الرقم بين زوج من خطين عموديين. على سبيل المثال، يتم كتابة القيمة المطلقة للرقم 2- على شكل |-2|  و القيمة المطلقة للعدد 1,000 مكتوبة |1,000|. لذلك كلما رأيت شيئا يشبه ذلك، أنت تعرف الآن أننا نتحدث عن قيمة مطلقة. وبعبارة أخرى، نحن مهتمون فقط في حجم الرقم، وليس في علامته.

كيفية العثور بسرعة على القيم المطلقة للأرقام

     في الممارسة العملية، فإن أسهل طريقة للعثور على القيمة المطلقة لرقم واحد هي تجاهل أي علامة سالبة أمامه. لذا |5|=5 (لا توجد علامة سالبة لتجاهلها هنا) و |1-|= 1 (هذه المرة تجاهلنا العلامة السالبة). إذا كنت تبحث بدلا من ذلك على القيمة المطلقة للتعبير الذي يحتوي على أرقام تحتوي على الضرب أو عمليات حسابية أخرى - شيء مثل |3+2-7| - كل ما عليك القيام به هو تبسيط التعبير ثم تجاهل أي علامات سالبة أمام النتيجة. على سبيل المثال، التعبير |3+2-7| يبسط إلى | 2- |، وهو يساوي 2 فقط.

     لماذا تعمل هذه الطريقة؟ لأن تجاهل أي علامات سالبة أمام الرقم في النهاية هو نفس الشيء بالضبط لمعرفة مدى بعد هذا العدد عن الصفر. هذا كل ما هو للقيم المطلقة! كما ترون، على الرغم من جدية تسميتها، فإن القيم المطلقة من السهل حقا فهمها والتعامل معها

المصدر 


ترجمة : علياء تكليف

تدقيق : علي خالد


اقرأ المزيد ...

الثلاثاء، 12 سبتمبر 2017

كيف تحسب الجذور التربيعية في ذهنك




تعلم كيفية استخدام الجذور التربيعية في العالم الحقيقي، وكيف يمكنك بسهولة تقدير قيمة الجذر التربيعي في ذهنك ، وكيف يمكنك استخدام خوارزمية قديمة لحساب قيمة الجذر التربيعي باليد لدقة عالية كما تحتاجها


      
إذا كنت قد قرأت المقال السابق  (انقر هنا للاطلاع عليه) ، فمَعرفة ما هو الجذر التربيعي للأعداد  16 و81 ، وكل عدد آخر يكون مربع مثالي يجب أن تكون سهلة لأنك تعلم انه يجب عليك إيجاد العدد الذي ربعته وأعطاك ذلك المربع المثالي، ومعرفة ما الجذر التربيعي للعدد السالب يجب أن يكون سهلا أيضا مثل 1- أو 42-  لأننا بيّنا أن الأعداد السالبة لا تمتلك جذور تربيعية (على الأقل لا يوجد أي عدد نعرف عنه إلى الآن)، ومعرفة كيفية إيجاد الجذر التربيعي للأعداد ليست مربعات مثالية مثل π و55  يجب أن يكون سهلا جدا أيضا لأنك تستطيع استخدام الحاسبة دائما.

      
ولكن ماذا لو كنا بحاجة لإيجاد الجذر التربيعي للمربعات الغير مثالية و لم تكن لدينا حاسبة يدوية في نفس الوقت! ماذا تستطيع أن تفعل؟ استمر بالقراءة لأنك ستتعلم اليوم كيف تحسب جذور تربيعية في رأسك.


الملخص : ما هي الجذور التربيعية؟


        قبل الدخول في تفاصيل كيفية تقدير جذور تربيعية في ذهنك وكيفية حساب قيمها بدقة دون استخدام الحاسبة، دعنا نستخلص قليلا ماذا نعني بـ الجذور التربيعية؟ الفكرة في الواقع بسيطة جدا: متى ما ضربت عددً في نفسه (ابقِ في ذهنك أن هذا يعمل على أي عددٍ، سواء أكان عدد صحيح، عدد نسبي أو عدد غير نسبي) سوف يُدعى تربيع العدد.

        كمثال على الأعداد الصحيحة 15x15 وهو تربيع العدد 15، وهو ما يساوي إلى 225. فعندما نجد الجذر التربيعي للعدد 225، كل ما نفعله هو معرفة ما هو العدد الأصلي الذي ضربناه بنفسه للحصول على 225. أما عند التعامل مع الأعداد التي ليست مربعات مثالية، فإن تقنية إيجاد الجذور التربيعية مختلفة، لكن الفكرة تبقى نفسها. كمثال، ما هو الجذر التربيعي للعدد 343؟ باستخدام الحاسبة، نجد أن الجواب تقريبا 18.52. فإذا ضربنا 18.52×18.52، نحصل على 342.99 وهو قريب جدا من 343، لذا كما ترى، بغض النظر عن نوع العدد الذي نتعامل معه فإن معنى الجذر التربيعي يبقى نفسه.

الجذور التربيعية في العالم الحقيقي

       قد تتساءل لماذا قد تكون بحاجة لحساب الجذر التربيعي في المقام الأول؟ كما هو الحال في مواضيع كثيرة في الرياضيات ، فإن الجذور التربيعية أيضا تظهر كثيرا في عالمنا، كمِثال: تخيل أنك تفكر في شراء منزل ورأيت في الإعلان أن مساحة المنزل هي فقط 4000 قدم مربع هل هذا صغير؟ أم ضخم؟ ماذا تعني هذه المساحة ؟ حسنا، يوجد فكرة واحدة مناسبة لتفسير هل أن المساحة مربعة الشكل تقريبا(بالطبع معظم مساحات المنازل ليست مربعات بالضبط، ولكنها ليست نموذجا سيئا لاستخدامها فقط للحصول على فكرة). الجذر التربيعي الأقدام المربعة للمساحة يخبرك كم كبر كل جانب من نموذج المساحة هذا. بما أن الجذر التربيعي لـ 4,000 قدم مربعة هو أعلى بقليل من 63 قدم ، فنرى أن البيت واقع على قطعة أرض مربعة تكون أكثر من 63 قدم عرضاً و 63 قدما عمقا بالطبع هناك الكثير من الأمثلة على الجذور التربيعية في عالمنا ، لكن أظن أن هذا يعطي صورة أوضح.


كيفية تقدير الجذور التربيعية في ذهنك


       لننتقل الآن إلى الجانب العملي لإيجاد جذور تربيعية. أولا، ماذا تفعل عندما تحتاج حساب جذر تربيعي ولا تمتلك حاسبة؟ في الحقيقة، لأن معظم الهواتف لديها تطبيق الحاسبة الآن، فأنت تملك واحدة دائما معك تقريبا. ولكن لا يزال هناك حالات لا تحتاج  إلى إضاعة الوقت باستخدامها.على وجه الخصوص، لا تحتاج إلى عناء استخدام آلة حاسبة عندما تحتاج فقط إلى معرفة الجواب التقريبي، وهذه هي الحالة بالضبط في معظم حالات عالمنا. عندما كنا نريد أن نعرف كم هو كبر قطعة أرض مقاسها 4,000 قدم مربعة، نحن لا نحتاج حقا إلى جواب شافي و وجدنا أن جوانب قطعة الأرض كانت حوالي 60 قدم كافيا جدا.

       في مثل هذه الحالات عندما تكون الدقة العالية مبالغ فيها ، يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في ذهنك لعدد من خلال معرفة بين أي اثنين من المربعات المثالية يقع العدد. على سبيل المثال، تخيل أنك بحاجة إلى العثور على الجذر التربيعي لـ 60. إذا كنت قد حفظت جدول الضرب، فأنت تعرف مسبقا أن 7^2=49 و8^2=64. لأن 60 أكبر من 49 ولكن أصغر من 64، يمكننا أن نرى على الفور أن الجذر التربيعي لـ 60 يجب أن يكون بين 7 و 8. ويمكن أيضا أن نرى أن الجواب الحقيقي يجب أن يكون أقرب قليلا إلى 8 من 7 وهذا يعني أن 60 هو أقرب إلى 64 من 49. هل هذا منطقي؟

       
يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في رأسك من خلال معرفة بين أي عددين من المربعات المثالية يقع العدد المراد معرفة جذره التربيعي.

        ولكن ماذا لو كان هذا التقدير التقريبي ليس جيد بما فيه الكفاية وتحتاج إلى إجابة أكثر إقناعا؟ هل أنت خاليا من الحظ؟ لا، يمكنك استخدام خوارزمية قديمة جدا وذكية عمرها أكثر من 2000 عام تعرف باسم "الطريقة البابلية" أو "طريقة هيرون" لتحسين تقريبك. إليك كيفية استخدام الطريقة لإيجاد الجذر التربيعي لـ 60.

      الخطوة 1 هي تخمين الجواب .. كلما كان التخمين أفضل ستتحسن دقة التقدير بسرعة أكبر. في حالتنا، لأننا نعرف أن الجواب يجب أن يكون بين 7 و 8، لنخمّن 7.5. وبما أن 7.5×7.5=56.25 ، نعلم أن هذا ليس تخمين دقيقا، ولكن لنرى ما يمكن للخوارزمية القيام به.
      الخطوة 2 هي تقسيم العدد الذي أخذنا الجذر التربيعي له على الذي خمّناه لذا 60/7.5 = 8.

      الخطوة 3 هي إيجاد المتوسط بين هذا الرقم الجديد وبين الذي خمّناه. بعبارة أخرى، إضافة الرقم الجديد إلى الرقم الذي خمّناه  وتقسيم النتيجة على 2. أي (7.5 + 8) \ 2 =7.75. هذا الرقم هو تخمينّنا الجديد ، لنتّحقق و نرى هل تخمينّنا جيد: 7.75x7.75=60.0625 ...حيث انه قريب جدا من 60. لذا فقط بهذا التسلسل من الخطوات قمنا بتحسين تقديرنا للجذر التربيعي للـ 60 بشكل هائل.

      الخطوة 4 هي أن تقرر ما إذا كان تخمينك الجديد هو دقيق بما فيه الكفاية. إذا كان كذلك، إذن انتهيت. إن لم يكن كافيا، فلتعد إلى البداية مع التخمين الجديد وكرر العملية حتى تصل إلى الجواب الدقيق الذي تحتاج إليه. كل رحلة من خلال هذه الخوارزمية القديمة تعطيك جواب أكثر وأكثر دقة



 المصدر :




ترجمة : آيات خالد 

تدقيق : علياء تكليف 

اقرأ المزيد ...
جميع الحقوق محفوظة لـفاكهة الرياضيات
تعريب وتطوير ( سيد ضرغام ) Designed By