من
تعتقد أنه سيفوز في سباق بين المحارب اليوناني القوي أخيل وبين سلحفاة ذكية جدا؟
من الواضح، أن أخيل سيهزم السلحفاة .. هل سيفعل حقا؟ الجواب قد يفاجئك .
هل
استيقظت يوما ما على صوت منبه عالي وشعرت بأن بعض اللجان الكونية قد عقدت اجتماعاً
خلال الليل ليقرروا ما إن كانت فكرة الحركة جيدة أم لا .. وأنهم قد قرروا أنها لا، شاقة ، وشاقة
جدا، في الواقع، أن المشي عبر الغرفة يجب أن يكون مستحيلا إلى الأبد. بالطبع، لقد
مررنا جميعا بهذا الشعور، وفي نهاية المطاف اعترفنا أن الحركة لا تزال ممكنة ،
وأنه في بعض الأحيان يجب علينا سحب أنفسنا من السرير.
ولكن
ماذا إن أخبرتك بأني أستطيع أن أبرهن أنك في الحقيقة على صواب .. بأن هذه الحركة نفسها في الواقع
مستحيلة؟ هل تصدقني؟ أو هل تعتقد بأني كنت أحاول خداعك؟ وفقا الحكاية معروفة صاغها
الفيلسوف اليوناني زينو، وهذا يشبه إلى حد كبير الوضع الذي واجهه المحارب اليوناني
الشهير أخيل عندما سلحفاة ذكية جدا سألته إذا كان يريد أن يتسابق معها.
هل يمكنني
إثبات أن الحركة مستحيلة؟ وماذا سيكون لهذا علاقة بمفارقة زينو؟ وكيف يرتبط ذلك
بفكرة الغاية(limit) الذي
تحدثنا عنه في المرة السابقة ؟ هيا نكتشف.
كيفية برهان أن الحركة مستحيلة
أنا
اعلم انك تفكر بأنك تتحرك طوال حياتك، ولكن ما أنا على وشك قوله لك قد يجبرك على
التفكير بكيفية إمكانية ذلك حتى. إليك لماذا : من اجل المشي عبر غرفة نومك في
الصباح، عليك أولا السير في النصف الأول من الغرفة. ولكن من أجل المشي عبر هذا النصف
الأول من الغرفة، عليك أن تمشي عبر النصف الأول من هذا النصف الأول. ومن أجل السير
عبر النصف الأول من النصف الأول، عليك أن تسير عبر النصف الأول من النصف الأول من
النصف الأول. وهكذا ... إلى الأبد.
إذا
كنت تفكر في ذلك، سترى أن هذا يقدم لنا معضلة قليلا. على وجه التحديد، من أجل
المشي عبر غرفة نومك، عليك بالمشي عبر عدد غير منتهي من القطع من غرفة نومك.
بالتأكيد، يجب أن يكون من المستحيل السير عبر عدد غير منتهي من أي شيء .. صحيح؟
وهو ما يعني أنه يجب أن يكون من المستحيل تماما عمل أي تقدم عبر غرفتك ... أو حتى
على المشي على الإطلاق! باستثناء، بالطبع، يمكنك المشي عبر غرفة النوم الخاصة بك.
لذلك يجب أن يكون هناك شيء خاطئ مع هذا البرهان. قبل أن نتعمق أكثر في هذا، دعونا
نلقي نظرة على نسخة أخرى من القصة التي ترسم صورة أكثر إقناعا.
قصة أخيل والسلحفاة
ووفقا
للفيلسوف اليوناني زينو، منذ فترة طويلة بطل ملحمة الإلياذة كلها، أخيل، واجهته
سلحفاة. نحن لا نعرف ما هو اسم السلحفاة، لذلك نحن سوف ندعوه السيد T . كما تُخبر
القصة، قال السيد T لأخيل أنه
يرغب بتحديه في سباق قديم الطراز. وكونه ذو روح نبيلة، كان أخيل متردداً لقبول
تحدي من منافس كان من الواضح انه أدنى منه. وقد استهزأ السيد T بفعله الشهم وادعى انه إذا سمح له أخيل
بأن يبدأ أبكر منه في بداية السباق ، سوف يفوز بالتأكيد. في هذه النقطة،
بدأت شجاعة السيد T بجعل أخيل
في الطريق الخطأ، مما جعله يوافق على السباق. عندما سأله أخيل كم يريد من بداية
السباق، قال السيد T أنه لا يهم
كم حقا، ولكن 100 متر سوف تفي بالغرض بشكل جيد. عرف أخيل أنه يمكن أن يركض كثيرا،
أسرع بكثير من السيد T، لذلك كان يعلم أنه يمكن أن يغطي هذه 100 متر بسرعة. اتفق السيد T معه ، لكنه لاحظ أيضا انه بحلول الوقت
الذي يركض به أخيل المائة متر هذه، أنه قد تحرك مما يعني أن أخيل لن يلحقه. اتفق أخيل
مع السيد T في هذا،
لكنه كان غير مهتم لأنه يستطيع أن يعوض هذه المسافات الإضافية التي يقطعها السيد T . مرة أخرى وافق
السيد T على كلام
أخيل، ولكنه أيضا مرة أخرى سوف يقطع مسافة ابعد بينما يكون أخيل مشغولا بتلك
المسافات الإضافية ... مما يعني أن أخيل لا يزال لن يلحق به.
وعلى
هذا المنوال تستمر القصة. وبغض النظر عن عدد المرات التي يقطع فيها أخيل المسافة
الإضافية، يتحرك السيد T ابعد. و على ما يبدو، أخيل لا يمكن أبدا اللحاق تماما
بالسلحفاة. ووفقا لهذه القصة، أقنعت هذه الحجة أخيل بأنه لا يمكن أن يفوز، حتى انه
اعترف بالفوز للسيد T قبل أن
يبدأ السباق حتى. وهكذا،
تتمكن السلحفاة من التغلب على القوى أخيل، ولكن لم يكن مع قدرته الجسدية، كان مع
عقله. ولأن حجة السيد ت تبدو مقنعة جدا، إلا أنها تقوم في الواقع على قليلا من
الخفة الرياضية.
كيف تحل الغاية مفارقة زينو
إذاً كيف يمكن لأخيل اللحاق بالسلحفاة
(والذي بالتأكيد يستطيع فعله)؟ وكيف يمكنك أن تعبر غرفة نومك (والذي بالتأكيد أن
تفعل ذلك)؟ الجواب على كل من هذه الأسئلة يرتبط بفكرة الغاية الذي تحدثنا عنه سابقاً
(في مقال مفهوم الغاية في الرياضيات)؟
لمعرفة السبب، دعونا نبدأ بالتفكير في
مشكلة المشي عبر غرفة النوم الخاصة بك. دعنا نقول أنك تعرف أنه يستغرق 1 ثانية
لاستكمال الجولة عبر غرفتك. على افتراض أنك تمشي بسرعة ثابتة، مما يجب أن يستغرق
1/2 ثانية لإكمال الجولة عبر النصف الثاني من الغرفة، 1/4 ثانية للربع السابق من
الغرفة، 1/8 ثانية للثمن السابق، 1/16 ثانية عن الجزء السادس عشر السابق، وما إلى
ذلك لكل قطعة من القطع اللامتناهية والصغيرة من الغرفة. الشيء الرئيسي الذي نلاحظه
هنا هو أنه يأخذ كميات صغيرة على نحو متزايد من الوقت لعبور تلك القطع الصغيرة على
نحو متزايد من الغرفة. و في الحد فإن تلك القطع تصبح صغيرة بلا حدود، فإنه تأخذ
كمية صغيرة بلا حدود من الوقت لعبورهم. لذلك، والمثير للدهشة، فإنه يأخذ كمية
منتهية من الوقت للمشي عبر هذه القطع اللامنتهية (لأنه في "النهاية" نحن
أساسا نقوم بإضافة صفر من الوقت على كل قطعة صغيرة لا منتهية). في الواقع، فإن
الوقت الإجمالي للجولة هو 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = ثانية واحدة
(وليست بالمفاجأة الكبيرة بما أننا بدأنا بهذا من البداية).
شيء مماثل يحدث لأخيل في ملاحقته
للسيد T . في كل مرة يقطع أخيل مسافات السيد T الإضافية، فان السلحفاة يتحرك أبعد.
ولكن هذه المسافة التي يتحركها السيد T في كل مرة تكون أكثر صغراً وأقل. وفي الغاية تكون هذه المسافة
بصغر لا متناهي، فإنه يجعل أخيل يحتاج لكمية صغيرة من الوقت للتعويض. إذا كنت تريد
أن تضيف الوقت الإجمالي المنقضي لفترات زمنية كثيرة لا حصر لها التي يحتاجها أخيل
للحاق، ستجد أنه يستغرق وقتا منتهي (تماما كما فعلت لعبور الغرفة). و كلما ننظر
أقرب وأقرب في هذه الفترات الزمنية التي تصغر على نحو متزايد، فنحن في الواقع نعمل
تكبيراً للحظة لحاق أخيل بالسيد T. وقليلا من
الرياضيات سوف يظهر لك أنه لا يحتاج لوقت غير منتهي بالنسبة له للقيام بذلك.
وهو ما يعني أنه لو كان أخيل ذكياً
مثل السيد T، كان قد فاز في السباق. ولكن أنا سعيد لأنه لم يكن، لأننا الآن
نستطيع التمتع بالمفارقة الشهيرة زينو
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق