آخر الأخبار

الجمعة، 25 أغسطس، 2017

ما هي الجذور التربيعية ؟





قد قضينا الكثير من الوقت في الآونة الأخيرة للتحقيق في خصائص الأرقام المعروفة بالمربعات الكاملة علينا أن نتذكر أن المربعات الكاملة هي كل الأرقام التي نحصل عليها من حاصل ضرب أي عدد في نفسه فالناتج من حاصل الضرب يسمى بالمربع الكامل ، كمثال ان 1،4،9 هي مربعات كاملة بحيث (1^2=1) ، ) ( 2 ^ 2= ،)9 (3^2=   .. إلخ  ،


أنا متأكد انك تتفق معي على أن تلك الأوقات التي قضيناها مع المربعات الكاملة أوقات جيدة جدا و لدي خبر عظيم بأن تلك الأوقات لم تنته بعد ..
في الواقع يوجد سؤال آخر يجب التفكير به يتعلق بالمربعات الكاملة ، في نهاية هذا المقال ستعرف ما عدد المربعات الكاملة للحصول على المربع المثالي؟ ويجب أن تكون أيضا مستعدا للتعامل مع بعض العقبات التي ستواجهك .

ما هي الجذور التربيعية؟


تخيل أني أعطيك عدد وأقول انه مربع كامل .. كمثال العدد 49  .. ونحن نعلم ان 49 هو بالفعل مربع كامل  لأنه عندما نضرب عدد معين في نفسه ينتج الـ 49 وهذا كمثال بسيط وربما تعرف إجابته . لكن السؤال الحقيقي الذي يحتاج للتفكير هو إذا كنا لا نعرف ما هو العدد لمربع كامل معين؟
الجواب على هذا السؤال بسيط جدا .. وربما هو شيء كنت تعرفه بالفعل ، نستطيع إيجاد عدد غير معروف بالبحث عنه بواسطة الجذر التربيعي للمربع الكامل  ، نستخدم مثالنا السابق .. الجذر التربيعي للـ 49 الذي هو مربع كامل يكتب باستخدام الرمز الرياضي الرائع جدا الذي يبدو بالشكل كأنه "علامة الاختيار" المعروف بعلامة الجذر التربيعي ..كما في 49√ (ملاحظة: نحن دائما نرسم خط على49  لنضمن أن الجذر التربيعي  يحتوي على كل العدد ولكن كتابته في شبكة الانترنيت هكذا صعبة) ، تعلمنا سابقا عندما حفظنا جدول الضرب لأول مرة بان 7^2=،49 وهذا يعني ان 49√ =7  .. سهل جدا .. أليس كذلك؟ بالتأكيد ، ولكن هل هذا كل شيء ؟!

هل يمكن أن تكون الجذور التربيعية سالبة ؟


إذا كنت مهتماً حقاً قد تفكر أيضا 
بأن العبارة -7^2 = -7×-7=49 
 أليست صحيحة أيضا ؟! 
ألا يعني هذا أن  7- هي إجابة صحيحة بنفس القدر
بعبارة أخرى ألا ينبغي لنا أن نقول أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي أما 7 أو 7-   .
وجوابي هو : ليس حقاً ، على الرغم من أنك ترى الناس في الكثير من الأحيان الناس يدعون أن قيمة الجذر التربيعي للعدد 49 يمكن ان تساوي 7- كما تساوي 7 .   
وأعتقد أنه من غير المربك أن نفكر في الجذور التربيعية من حيث ما  هو فنياً أكثر تسمى بـ "الجذور التربيعية الأساسية "  ..والتي هي فقط الجذور التربيعية الموجبة التي كنا نتحدث عنها .

في الحقيقة أن هذا التناقض ينتج من المعادلة ( x^2=49 )  حيث أن المتغير x يكون حل للمعادلة إذا ساوى احد جذري ال49 بمعنى أما يساوي 7 أو 7- ..
ونستطيع التحقق من هذا بتعويض الجذرين بقيمة x ، وأي واحد من هذه القيم سيجعل طرفي المعادلة متساوي سيكون هو قيمة x الصحيحة ، وعند التعويض نجد أن العددين يجعلان طرفي المعادلة متساوي وهذا يعني ان x لها قيمتين تحققا المعادلة بمعنى أن المعادلة لها أكثر من حل .. وعند قولنا أن x تمتلك قيمتين ممكنتين تجعلان المعادلة صحيحة هذا لا يعني أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي رقمين مختلفين ، في حين أن معادلة مثل هذه قد تكون لها قيم متعددة فمن الأفضل أن نفكر بأن الجذر التربيعي لأي مربع كامل هو رقم موجب واحد للرجوع إليها في المستقبل ويعرف أيضاً بالجذر التربيعي الأساسي .

كيفية حساب الجذور التربيعية 


أفضل طريقة لحساب الجذور التربيعية هي عادة استخدام آلة حاسبة أو جهاز كمبيوتر ، وهو مما يعني أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي 7 فقط ، وكان من السهل جداً معرفة ذلك ، أليس كذلك؟! .  بعد كل شيء ربما فكرت انه ليس صعبا جدا حساب الجذور التربيعية .. حسنا هذا صحيح انه ليس من الصعب جدا العثور على الجذر التربيعي لمربع الكامل ..
لكن لا تتحمس جدا لان الحياة ليست بهذه البساطة . وعلى وجه الخصوص ليس من السهل إيجاد الجذر التربيعي للأعداد التي لا تمثل مربعا كاملا .. كمثال ما هو الجذر التربيعي لـ 60 ؟ . ومعرفته صعبة جداً لأنه لا يمكن إيجاد حاصل ضرب أي عدد في نفسه يساوي 60 . ماذا نفعل في هذه الحالة ؟
سوف نتحدث في المرة القادمة حول بعض التقنيات السريعة والغير رسمية التي يمكنك استخدامها لتقدير الجذور التربيعية ( حيث انه من الجميل دائماً أن يكون لديك حيل من هذا القبيل في حزام أدواتك الرياضية) ، لكن في الحقيقة إن أفضل طريقة لإيجاد الجذر التربيعي - وخاصة عندما تحتاج دقة عالية - هي استخدام آلة حاسبة أو جهاز الكمبيوتر .
بعد كل ذلك تم تطوير طرق حساب الجذور التربيعية  باليد منذ مئات السنين قبل أن تكون الآلات التي يمكن أن تفعل هذه المهمة موجودة . ولكن الآن هذه الآلات موجودة وهي أكثر سرعة وأكثر دقة منك ، لذلك لا معنى لاستخدامها ؟ بالرغم من كل ذلك لدينا أشياء أفضل يمكن أن نقوم بها بأدمغتنا .

هل الأرقام السالبة لها جذور تربيعية؟


قبل أن ننتهي ، وقبل أن  تتحمس جدا لتشغيل الآلة الحاسبة لحساب الجذور التربيعية ، أود أن أحذرك أن ليس كل عدد له جذر . ماذا يعني ذلك؟ ، حسنا لنفكر إذا كان المربع الكامل عدد موجب فأن جذره دائما عدد موجب وإذا كان المربع الكامل عدد سالب فأن جذره دائما عدد موجب أيضاً ، وهذا يعني أن المربع الكامل لأي عدد دائما يكون عدد موجب ،
وبما أنه لا يوجد أرقام نستطيع تربيعها لنحصل على عدد سالب (على الأقل لا يوجد شيء نعرفه حتى الآن)  لهذا يمكننا أن نستنتج أن الأرقام السالبة ليس لها جذور تربيعية   
.

تطبيق عملي


مع ذلك ، حان الوقت لتختبر نفسك في إيجاد الجذر التربيعي ، حاول أن تحل ثلث هذه المسائل بالضبط ، بينما حاول أن تحل  ثلث آخر من هذه المسائل تقريبا باستخدام الحاسبة ، والثلث الأخير لا تحله إطلاقا  ،
تستطيع اختيار أي طريقة لحل المسائل ، ولكن اختار بحكمة !
16√ = ____ ؟

√1- = ____ ؟

√π = ____ ?

81√ = ____ ؟

√-42 = ____ ؟

الجذر التربيعي ل 55 = ____ ؟ 


المصدر




ترجمة : آيات خالد


تدقيق : علي خالد 


اقرأ المزيد ...

الأربعاء، 23 أغسطس، 2017

تحويلات فورييه للصور


      الأصوات التي نسمعها - سواء كانت الموسيقى ، الكلام ، أو ضجيج الخلفية - هو نتيجة اهتزازات طبلة الأذن لدينا ، التي تحفزها الموجات الصوتية المتنقلة عبر الهواء ، والتي تكونت بواسطة سماعات الرأس ، أو الآلات الموسيقية أو الأجهزة الصوتية لدى الناس أو حتى صوت الشخص المزعج الذي يجلس خلفك في السينما حينما يفتح كيس الحلوى . هذه الاهتزازات يمكن رسمها (شدة أو ضغط الموجة المرسومة طول الوقت) يتيح لنا التمثيل البصري للصوت . 
الموجة الصوتية من شوكة ضبط ( في الاعلى) ومقارنتها مع الموجة الصوتية لكلام اللإنسان (في الاسفل)

الموجة الصوتية للوسط A على شوكة ضبط هو مثال ممتاز لعلامة الموجة ، يكتب بصورة رياضيةsin(x)   ، جيب الزاويةX . موجة الصوت للكلام أكثر تعقيداً . لكن أي موجة صوتية ، في الحقيقة أي وظيفة تكرارية يمكن تفصيلها إلى عدد من موجات الجيبsine من مختلف الترددات و السعات (الشدة). ها نتيجة العمل الذي بدأه عالم  الرياضيات الفرنسي فورييه الذي عاش خلال الثورة الفرنسية في القرن الثامن عشر . التعبير عن موجة صوتية أو أي إشارة تغيير على مرور الوقت كمجموع الموجات الجيبية  sines المكونة لها ويعرف بتحويل فورييه لتلك الإشارة    
تختلف الدالة f  في الوقت المناسب ، وهي تمثل موجة صوتية . عملية تحويل فورييه تقوم بالتحلل إلى الموجات الجيبية المكونة لها مع تردات وسعات خاصة ويعمل تحويل فورييه كالمسامير في مجال التردد ، والارتفاع يمثل اتساع الموجة من هذا التردد .
يمكنك كذلك التفكير في صورة معينة كدالة متفاوتة ، ولكن بدلاً من أن تختلف في الزمن فإنها تختلف عبر الفضاء الثنائي الأبعاد للصورة . في الصورة الرقمية ذات النطاق الرمادي فإن كل بكسل يحتوي على قيمة بين 0 و 255 تمثل ظلام ذلك البكسل . ولذلك فإن ظلام أو كثافة ذلك البكسل هو دالة الإحداثيات العمودية والأفقية التي تعطي موقع ذلك البكسل . يمكنك التفكير في الصورة كمناظر طبيعية متموجة ، مع ارتفاع المناظر الطبيعية التي تعطى بواسطة قيمة البكسل 
صورة رقمية لمحررين من موقع Plus، كل بكسل له قيمة بين 0 و 255، مما يمثل اللون الرمادي من هذا بكسل. وعلى اليمين، يتم عرض وظيفة الصورة من نفس الصورة الرقمية، مع قيمة الرمادية u(x,y) مرسومة كارتفاع السطح فوق المستوي (x,y).
 ويمكن التعبير ايضاً عن الصور كمجموع موجات جيبية ، ولكن هذه المرة عوضاً عن موجات ذات بعد واحد فإنها موجات تختلف  ببعدين ، مثل تموجات على ورقة

دالة الموجات الجيبية ببعدين تكتب كالتالي
                                     z =a sin(hx + ky)

بحيث أن الـx  و الـ y تعطي إحداثيات النقاط على الورقة ، و z هو ارتفاع أو كثافة الموجة في تلك النقطة ، a يعطي السعة (الارتفاع الأقصى) للموجة . والـ h والـ k يعطيان عدد المرات التي تتكرر فيها الموجة في الاتجاهين x  و  yعلى التوالي (وهما الترددان x  و y) . 
الموجات  sin(x) و sin(2y)  و sin(x+y)


وعندما تكون قيمة k=0 فإن الموجة الجيبية تتقلب فقط على طول المحور x ، وعندما تكون قيمة h=0 فإنها تتقلب على طول المحور y . لكن إذا كان كلاً من h  و K لا يساويان صفراً فإن الموجة الجيبية تتحرك قطرياً عبر الورقة ، مع موجات تنتقل في اتجاه ( عمودي على اتجاه تقدم الموجة) زاوية مع الميل h/k .
إضافة تلك الموجات معاً يتضمن فقط إضافة القيم ، أو الارتفاعات للموجات عند كل بكسل  . ويمكن للموجات أن تتداخل بصورة جزئية لخلق موجة نهائية ذات قيمة أعلى في تلك النقطة . ويمكن للموجات أن تتداخل بشكل مدمر وتلغى . إذا كان اتساع أحد الموجات المكونة أكبربكثير من اتساع الموجات الأخرى فإنه سيهيمن .
الموجات sin(x)+sin(y) و 5sin(x)+sin(y) و sin(x)+5sin(y) . يمكنك ان ترى كم هو كبير حجم سعة الموجة 5sin(x) في الصورة الوسطى و 5sin(y) في الصورة التي على اليمين تهيمن على الموجة الناتجة
تحويل فورييه لصورة يحلل دالة الصورة (المناظر الطبيعية المتموجة) إلى مجموع الموجات الجيبية المكونة لها . كما هو الحال بالنسبة لموجات الصوتية فإن تحويل فورييه يرسم خلاف التردد الخاص بالصورة . ولكن خلافاً لتلك الحالة فإن فضاء التردد له بعدان ، بالنسبة للترددين h و K في البعدين x و y . ولذلك يتم رسمها ليس كلوحة مسامير ولكن كصورة وتقريباً مع نفس الأبعاد بالبكسل كما في الصورة الأصلية .


ولكل بكسل في تحويل فورييه احداثيات (h,k) تمثل إحداثي الموجة الجيبية X مع التردد h و Y مع التردد k في تحويل فورييه . نقطة المركز تمثل الموجة (0,0) - مستويات مسطحة بدون تموجات - وكثافتها (سطوعها بالألوان في المقياس الرمادي) هو معدل قيمة البكسل في الصورة . النقاط على يسار ويمين المركز تمثل الموجة الجيبية التي تختلف على طول المحور X (أي أن k=0 ) .  سطوع هذه النقاط يمثل شدة الموجة الجيبية مع هذا التردد في تحويل فورييه (الكثافة هي مربع اتساع الموجة الجيبية) . أما تلك العمودية فوق وتحت نقطة المركز فتمثل تلك الموجات الجيبية التي تختلف في المحور Y ولكنها تضل ثابتة في X (أي أن h=0) والنقاط الأخرى في تحويل فورييه تمثل مساهمات الموجات القطرية .


موجة sin(x) تمثل كصورة رمادية وتحويل فورير لتلك الصورة



على سبيل المثال : اعتبر أن الصورة أعلاه التي على اليسار  هذه موجة جيبية بعدين (التي رأيناها بوقت سابق) تظهر صورة رمادية . وبجانبها هو تحويل فورييه لهذه الصورة الرمادية ولها نفس الأبعاد بالبكسل للصورة الأصلية والتي هي سوداء بالكامل باستثناء بعض البكسل المشع في المركز . وإذا قمنا بتكبير مركز صورة تحويل فورييه (التي يمكنك رؤيتها أعلاه على اليمين) يمكنك ان ترى أن هناك بالضبط ثلاثة من البكسلات ليست سوداء . واحدة من هذه النقاط المشعة في المركز تحمل الاحداثيات (0,0) تمثل مساهمة الموجة (0,0) في الصورة. البكسلات اللامعة على الجانبين مع الاحداثيات (1,0) وانعكاسها (0 , 1- ) تمثل مساهمة الموجة (1,0) (الموجة الجيبية في الصورة الأصلية) . كل ما تبقى من البكسلات في تحويل فورييه سوداء ، كما في الصورة الأصلية بالضبط باستخدام الموجة الأصلية (1,0) . 
في الاعلى : الموجة sin(20x) +sin(10y) وتحويل فورير والتي تمثل اثنين من الازواج المشرقة من البكسلات للاحداثيات (20,0) , (0,10) وانعكاساتها وتمثل هذه التركيبات من موجتين
في الأسفل : الموجة sin(100x+50y) وتحويل فورييه والتي تبين فقط زوج من البكسلات المضيئة في الاحداثيات (100,50) وانعكاساتها



وتحويل فورييه من تركيبات بسيطة من الموجات التي لها نقاط مضيئة قليلة فقط . ولكن لصور أكثر تعقيداً ، كالصور الرقمية فهناك العديد والعديد من النقاط المضيئة في تحويل فورييه لها كما أنها تأخذ العديد من الموجات للتعبير عن الصورة .
في تحويل فورييه للعديد من الصور الرقمية الملتقطة بصورة طبيعية ، غالباً ما تكون هناك كثافة على طول المحورين X و Y لتحويل فورييه ، مما يعني أن الموجات الجيبية الممتدة على طول هذين المحورين فقط تلعب دوراً كبيراً في الصورة النهائية . 
وذلك لأن هناك العديد من المميزات الأفقية والرأسية والمتناظرة في العالم حولنا - الجدران ، سطوح الطاولات ، حتى الأجسام متناظرة حول المحاور العمودية . يمكنك أن ترى ذلك بتدوير الصورة قليلاً (لنقل بنسبة 45%) . عندها سيكون لتحويل فورييه كثافة قوية على طول زوج من الخطوط العمودية التي يتم تدويرها بنفس المقدار . 

محرري موقع plus وتحويل فورييه ، والتي تبين سلسلة من المساهمات من الموجة العمودية التي تمثلها نقاط مضيئة على طول المحور الرأسي
محرري موقع plus مع تدوير 45 درجة وتحويل فورييه لهم


تحويلات فورييه هي ادوات مفيدة بشكل لا يصدق للتحليل والتلاعب بالأصوات والصور . وبالخصوص في الصور، إنها الآلات الرياضية وراء ضغط الصورة (كصيغة JPEG)، تصفية الصور، والحد من التشويش والضوضاء.

الصور ذات البعدين للموجات الجيبية ، السطوح ، و تحويلات فورييه صنعت بواسطة برنامج الماتلاب . في حالة إذا ما كنت تحب أن تجرب بنفسك يمكنك ان تستخدم الأوامر التي استخدمناها من هنا 




المصدر 




ترجمة : علي خالد

تدقيق : زهراء علي     

  
اقرأ المزيد ...
جميع الحقوق محفوظة لـفاكهة الرياضيات
تعريب وتطوير ( سيد ضرغام ) Designed By