آخر الأخبار

الاثنين، 17 يوليو، 2017

مشكلة التماثل في الرسم البياني





الشبكات في كل مكان ، نحن نواجهها اليوم في شكل الانترنت، الشبكات الاجتماعية، أو النقل وشبكات المرافق العامة التي نعتمد عليها. رياضياً الشبكة هي مثال على الرسم البياني : مجموعة من العقد (وتسمى ايضاً رؤؤوس ) متصلة بواسطة الروابط (وتسمى ايضاً حواف) . والمشكلة هي أن نفس الرسم البياني يمكن أن يظهر في أشكال مختلفة - الأمر الذي يطرح سؤالاً حول مدى صعوبة معرفة ما إذا كان هناك رسمان بيانيان مختلفان على ما يبدو - ويعرف هذا السؤال بمشكلة تماثل الرسم البياني .

قطعة من خريطة دقيقة جغرافيا لمترو الأنفاق في لندن (في الأعلى، الصورة من  (Wikimedia commons)   والصورة الأخرى في الأسفل هي قطعة من الشبكة على الخريطة الفعلية


المثال هو لرسمين بيانيين يبدوان مختلفين ولكن في الواقع يعودان لنفس خريطة مترو أنفاق لندن . تم تغيير المواقع النسبية للمحطات ،مقارنة مع الخريطة الجغرافية ، لجعلها سهلة القراءة (معرفة المزيد من هنا). شبكة مترو الأنفاق على خريطة النفق تبدو مختلفة عن ما يبدو عند رسمها بدقة ، ولكن الاثنين متماثلين ، يمكنك مطابقة كل قمة وكل حافة من احد الرسمين البيانيين بالضبط مع قمة أو حافة في الرسم الآخر (والعكس بالعكس) ، بطريقة تحافظ على توصيل الرسم البياني (الذي ترتبط به القمة) ، في هذا المثال نحن نعرف من البداية أن الشبكتين متماثلتين ، بعد كل هذا فهما يمثلان نفس شبكة القطار الطبيعية ، ولكن من دون سياق الكلام ربما نحتاج بعض الوقت لمعرفتهما تماما .


إن مشكلة تماثل الرسم البياني لا تسأل عما إذا كان هنالك موقع ممكن إذا كان الرسمان البيانيان المعطيان بواسطة تمثيلات مختلفة متماثلان . هنالك خوارزميات، على صيغة خطوة بخطوة، والتي يمكن أن تفعل ذلك تماما . بالأحرى ، السؤال هو ما إذا كانت هنالك خوارزمية أسرع من تلك المعروفة . علماء الرياضيات لديهم طريقة لترتيب المشكلات وفقا لصعوبتها (بشكل أدق ، تعقيدها) . مشكلة تماثل الرسم البياني تسأل أين يقع سؤال الرسم البياني في التسلسل الهرمي لطبقات التعقيد .على الرغم من أن الإجابة لن يكون لها العديد من الاستخدامات العملية (الناس لديهم معرفة طويلة بالخوارزميات التي تحل المشكلة بشكل فعال بالنسبة للغالبية العظمى من الرسوم البيانية التي تأتي عبر كل أنحاء العالم الحقيقي) ، إنها كبيرة ومهمة في نظرية التعقيد وعلوم الكمبيوتر النظرية .

المصدر


ترجمة : سميح سعد
تدقيق : علي خالد
اقرأ المزيد ...

الخميس، 13 يوليو، 2017

الرياضيات من أجل ازدهار الانسان .. مقابلة مع عالم الرياضيات فرانسيس سو






يقول الإغريق القدامى أن أفضل حياة هي تلك الحياة التي تحتوي على اللعب، الجمال، الحقيقة، العدالة والحب ، عالم الرياضيات فرانسيس سو يعرف أين يجد تلك السمات الخمس .

في العادة لا تحظى مؤتمرات الرياضيات بميزة التصفيق وقوفاً وبحرارة ، إلا أن فرانسيس سو قد حصل على تلك الميزة في الشهر الماضي في اطلانطا .  سو عالم الرياضيات في كلية هارفي مود في كاليفورنيا ورئيس الجامعة المنتهية ولايته للجمعية الرياضية  (MAA) قدم عنوان الوداع العاطفي في اجتماع الرياضيات المشترك لـ(MAA) والجمعية الرياضية الأمريكية التي تحدى المجتمع فيها أن الرياضيات هي اکثر شمولا . فتح سو حديثه مع قصة كرستوفر والذي كان نزيلاً في السجن يقضي عقوبة طويلة بسبب سطو مسلح بدأ كرستوفر يتعلم الرياضيات من الكتب المدرسية وبعد سبع سنين درس خلالها الجبر وعلم المثلثات والهندسة وحساب التفاضل والتكامل وكتب الأخير إلى سو يطلب المشورة بشأن كيفية مواصلة عمله . بعد أن اخبر سو هذه القصة سأل قاعة المؤتمر في ماریوتو مارکیز وصوتهٔ منکسر (عندما تفکر في من یمارس الریاضیات هل تفکر في کرستوفر؟).

نشأ سو في تكساس لأبوين صينين في مدينه كان سكانها في الغالب بيض ولاتينيين وتحدث كطفل عن محاوله جاهدة عن  (التصرف الأبيض) . ذهب إلى الكلية في جامعه تكساس أوسطن ثم إلى كلية الدراسات العليا في هارفارد . في عام 2015 أصبح سو أول شخص مختلف اللون يقود (MAA) وفي حديثه انه وضع الرياضيات كمسعاه فريد من نوعه في تحقيق الازدهار البشری وهو مفهوم دعا الإغریق القدامى إلیه .

تحدث سو عن الرغبات الخمسة الأساسية التي يتم الوفاء بها من خلال الرياضيات ( اللعب ـ الجمال ـ الحقيقة ـ العدالة ـ الحب (.

وإذا كانت الرياضيات وسيله للازدهار البشري فمن المنطقي أن نتابع الفرصة للجميع للمشاركة فيه لكن في حديثه حدد سو ما يعتبره حواجز هيكلية في المجتمع الرياضي الذي يملي على من يريد الحصول على فرصه للنجاح في هذا المجال من قبيل متطلبات القبول في الدراسات العليا .

عندما انتهى سو من حديثة أثنى الجمهور كثيراً عليه وجاءه العديد من زملاءه الرياضيين بعد ذلك ليقولوا له أنه جعلهم يبكون . بعد ذلك جلست مجلة كوانتا مع سو في غرفه هادئة أقل مستوى من غرفة الفندق وسألته لماذا يشعر بالأسى تجاه الناس الذين دفعوا بعيداً عن الرياضيات.


مجلة كوانتا : كان عنوان حديثك ( الرياضيات من أجل ازدهار الإنسان ) . ألازدهار فكرة كبيرة - ماذا تعني بها؟ .

فرانسيس سو : عندما أفكر في ازدهار الإنسان أفكر في شيناً قريب من تعريف ارسطو وهو النشاط وفقاً للفضيلة على سبيل المثال كل من الرغبات الأساسية التي ذكرتها في حديثي هي علامات ازدهار إذا كان لديك عقل لعوب أو روح مرحة أو كنت تبحث عن الحقيقة وتستمع إلى الجمال أو تكافح من اجل العدالة أو محبة إنسان آخر وهذه هي الأنشطة التي تتفق مع بعض الفضائل . ربما طرق التفكير الأكثر تطوراً حول أساسيات الازدهار والارتقاء إلى قدراتك ، بمعنى من المعاني على الرغم أنني لن اقتصر على ذلك . أذا أحببت أنا شخص جيد ، هذا سيرتقي بي إلى إمكانات معينة من أنني قادر على حب شخص جيد .


مجلة كوانتا : وكيف تعزز الرياضيات ازدهار الانسان ؟

فرانسيس سو :  الرياضيات تبني المهارات التي تسمح للناس بفعل الأشياء التي قد يكونوا غير قادرين على القيام بها أو تجربتها .  أنا إذا تعلمت الرياضيات وأصبحت مفكر أفضل طورت المثابرة ، لأنني اعرف كيف تبدوا المصارعة مع المسائل الصعبة، وأطور الأمل من أنني سوف احل تلك المسائل بالفعل . بعض الناس جربوا نوعاً من العجائب المتتالية لأنهم رؤوا شيئا حقيقياً حول الكون وهذا بحد ذاته مصدر الفرح والازدهار.

الرياضيات تساعدنا على فعل هذه الاشياء. وعندما نتكلم عن تعليم الرياضيات، أحياناً ننسى هذه الفضائل الكبرى التي نسعى لزراعتها في طلابنا .

تعليم الرياضيات لا يجب أن يكون مجرد إيصال كل شخص إلى مشروع الدكتوراه هذه نظره ضيقة جداً لما يعنيه أداء الرياضيات . لا ينبغي أن يعني - تعليم الرياضيات - مجرد تعليم الناس بعض الحقائق وهذه أيضاً نظره ضيقه جداً لما تعنيه الرياضيات . ما نؤديه حقاً هو تدريب عادات العقل وتلك العادات تسمح  للناس ان تزدهر بغض النظر عن المهنة التي يذهبون إليها .



مجلة كوانتا: عدة مرات في حديثك تقتبس من سايمون ويل الفيلسوف الفرنسي (وأخوة عالم الرياضيات الشهير(اندريه ويل )) والذي كتب "كل ما يبكي بصمت يتم قراءته بشكل مختلف"، لماذا اخترت ذلك الاقتباس؟!.

فرنسيس : لقد اخترت ذلك الاقتباس لأنه يقول بطريقه موجزه جداً ما هي المشكلة ، ما يسبب الظلم أننا نحكم - ونحن لا نحكم بشكل صحيح - لذلك " القراءة " هنا تعني " الحكم " بطبيعة الحال . نحن نقرأ الناس بشكل مختلف عن الواقع.



مجلة كوانتا : وكيف ينطبق ذلك على مجتمع الرياضيات؟ .

 سو : نحن نفعل ذلك بطرق مختلفة . واعتقد أن جزء من ذلك هو أن لدينا صورة لمن يستطيع النجاح في الرياضيات، وقد وضعت بعض هذه الصور لان الأمثلة الوحيدة التي رأيناها حتى الآن هي الناس الذين يأتون من خلفيات معينة . نحن لم نعتد على سبيل المثال رؤية الأمريكيين الأفارقة في مؤتمر الرياضيات على الرغم من أنها أصبحت شائعاً كثيراً .

نحن لم نعتد رؤية الأطفال من الخلفيات الاجتماعية والاقتصادية الدنيا في الكلية أو مدرسة كراد . لذلك ما كنت احاول ان اقوله اذا كنا نبحث عن المواهب، إذاً لماذا نختار الخلفيات ؟ إذا كنا نريد حقاً ان تكون لدينا مجموعة اكثر تنوعا من الناس في العلوم الرياضية علينا ان نأخذ في الاعتبار الحواجز الهيكلية التي تجعل من الصعب على الناس من الخلفيات المحرومة تحقيق النجاح في الرياضيات .



مجلة كوانتا : لقد سمعنا الكثير عن الكيفية التي تنشأ بها هذه الانواع من الحواجز التعليمية في المدارس الابتدائية والثانوية - هل تقول أنها تنشأ كذلك في برامج البكالوريوس والدراسات العليا ؟

سو : نعم هذا صحيح . في كل مرحلة نحن نفقد الناس لذلك اذا نظرت الى بعض دراساتهم حول كم شخص سوف يختار حساب التفاضل والتكامل المستوى الأول وكم منهم سيمضي قدما للتفاضل والتكامل المتقدم ، ستجد أننا في الأساس نفقد النساء والأقليات في هذه المنعطفات الحرجة . يحدث ذلك لأسباب لا يمكن التكهن بها فحسب . بل أني متأكد من أن بعض هذه الأمور مرتبطة بأشخاص في هذه المجموعات لا يرون أنفسهم ينتمون إلى الرياضيات ، ربما بسبب الثقافة السلبية أو مناخ غير مرحب به ،  أو بسبب أشياء يقوم بها بعض الأساتذة أو الطلبة لثنيهم عن الاستمرار .

سو   في جامعة هارفي


مجلة كوانتا : المشكلة الواضحة مع هذا الاستنزاف هو انه عندما توجه الرياضيات من مجموعة اصغر ينتهي المطاف بنا بعدد أقل من علماء الرياضيات الموهوبين . ولكنك أكدت في خطابك أن إنكار الناس للرياضيات هو إنكارهم  لفرصة الازدهار ؟

سو : الرياضيات يمكن أن تسهم بطريقة واسعة لحياة كل شخص ما اذا كان هذا الشخص يصبج في الواقع عالم رياضيات أم لا . والهدف من توسعة تقدير الناس للرياضيات لا يتنافى مع جلب المزيد من الناس في الرياضيات العميقة. تواصل مع الناس بطريقة عميقة وأنت تسير لكسب المزيد من الناس في الرياضيات . بعضهم ، أغلبهم ، سوف يذهبون إلى مدرسة الدراسات العليا وهذا سوف يحدث بالضرورة اذا كنت تعالج بعض هذه الرغبات العميقة للحب والحقيقة والجمال والعدالة واللعب . اذا كنت تعالج بعض من هذه المواضيع العميقة فانت تسير للحصول على المزيد من الناس ومجموعة أكثر تنوعا منهم في الرياضيات العميقة .  



مجلة كوانتا : بعض هذه الرغبات هي أسهل بالربط مع الرياضيات من غيرها. اعتقد ان الناس لديهم شعور بديهي الى حد ما كيف يمكن تحقيق الرغبة الحقيقية أو الجمال من خلال الرياضيات . لكنك قضيت الكثير من الحيث عن العدالة كيف يرتبط ذلك بالرياضيات ؟! .

سو :- ان العدالة هي رغبة لدى الناس وبالتالي تؤدي الى فضيلة معينة هي ان تصبح شخص عادلاً ، شخص يهتم بالقتال من اجل الأشياء التي تدافع بشكل أساسي عن الكرامة الإنسانية . قضيت معظم الوقت في حديتي اساسا عن العدالة لأني اشعر ان مجتمع الرياضيات لدينا يمكن ان يصبح افضل . يمكننا ان نصبح أكثر عدلاً . ارى الكثير من الطرق التي يمكننا ان نفعلها بشكل افضل وتصبح أكثر حكمة كمجتمع . لكون عالم الرياضيات يسمح لنا ان نرى اشياء اكثر مما هي عليه . عندما يتعلم الناس عدم الافراط في تعميم حججهم، فإنهم سوف يكونون حريصين جداً على عدم التفكير انه اذا كنت فقيراً كنت من غير المتعلمين بالضرورة والعكس بالعكس ومن المؤكد أن وجود خلفية رياضية يساعد الناس على ان يكونوا اقل تحكماً بسبب تحيزاتهم .



 مجلة كوانتا : لقد كنت ناجحا في عالم الرياضيات البحثي ولكنك تعلمت في كلية صغيرة Harvey Mudd التي ليست لديها دراسات عليا ، هذا غير عادي . هل كانت هناك نقطه قررت فيها ان تفضل العمل في كلية الفنون الحرة بدلاً من جامعه بحثيه كبيرة ؟

سو : عندما كنت في كلية الدراسات العليا في جامعة هارفارد أدركت أنني أحب التدريس وتذكرت احد أساتذتي قال لي ان التدريس افضل في كليات الفنون الليبرالية الصغيرة . حتى عندما كنت في السوق بدأت ابحث في تلك الكليات كنت مهتماً في مسار البحث وعلى استعداد للقيام بذلك ولكن كنت أيضاً منجذب جداً إلى بيئة الفنون الحرة . اخترت ان اذهب وانا احب ذلك لم التمكن من رؤية نفسي في أي مكان اخر .



مجلة كوانتا : كيف يعتقد ان العمل في كلية الفنون الحرة يشكل الطريقة التي تنظر بها إلى مجتمع الرياضيات اليوم ؟

 سو : اعتقد أن واحداً من الأشياء التي لم أتناولها في الحديث ، ولكن فعلت تقريباً ، هو الانقسام في المجتمع بين الجامعات البحثية وكليات الفنون الحرة هناك انقسامات ثقافية والجامعات البحثية هي في حد ما الثقافة المهيمنة لان كل واحد منا حصل على درجة الدكتوراه من خلال الجامعات البحثية .  وهناك نمط كامل من الثقافة المهيمنة لا تدرك تماماً ما يجري في كليات الفنون الليبرالية  لذلك يأتي الناس إلي ويقولون (أنت في Harvey Mudd هل أنت سعيد هناك ؟ ) . إنه يبدوا مثل افتراض إنني لم أكن كذلك . هذا يحدث في كل وقت . لذلك فإني أجد أنه من المحبط قليلاً أن أشعر وكأنني يجب أن أقول " لا إنها في الواقع وظيفة أحلامي " .



مجلة كوانتا : ما هي عواقب هذا الاختلال الثقافي؟ .

سو : حسناً من الجوانب السلبية على سبيل المثال ان العديد من الناس في الجامعات البحثية لن تنظر في اخذ الطلاب من كلية البكالوريوس ، هذا هو الجانب السلبي ، إنهم يفتقدون الكثير من المواهب لذا فانه القضايا في نواح كثيرة  تماثل هذه القضايا بعض القضايا العرقية الجارية .

واعتقد أن الأساتذة في الجامعات البحثية لا يدركون في الغالب أن هناك الكثير من الأطفال اللامعين يأتون من خلال كليات الفنون الحرة . ما أتحدث عنه هو ممارسة شائعة جداً في الوقت الحالي في بعض المدارس العليا من الاعتراف فقط بالناس الذين لديهم بالفعل لائحة كاملة من دورات الدراسات العليا . وبعبارة أخرى أنهم يتوقعون أن الطلاب الجامعيين قد اتخذوا دورات الدراسات العليا قبل أن يقدموا طلباتهم حتى ، إذا كان لديك هذا النوع من الوضع الهيكلي بالضرورة سوف تستبعد مجموعة من الناس الذين قد يكونون خلاف ذلك ناجحون .



مجلة كوانتا : أحد العوائق التي ذكرتها في حديثك ينشأ عندما لا يُدرس كبار الأساتذة دروس تمهيدية ، حدثني عن ذلك .

سو : انا استفزازي قليلاً هنا أيضاً ، واعتقد أن ما يتواصل هو " هذا ليس قطاعاً مهماً كافياً من الناس بالنسبة لي لكي أضع تركيزي عليه " .

بالتأكيد أنا لا أقول أن كل من يُدَرس مفردات المستوى الأعلى له هذا الموقف ولكن ما أقوله أن هناك العديد من الناس يعتقدون أن اختصاص الرياضيات في المستويات العالية وضع في الأساس لصالح الطلاب الذين يذهبون للحصول على درجة الدكتوراه . هذه مشكلة .  



مجلة كوانتا : في اجتماعات الرياضيات المشتركة كان هناك عدد من الجوائز خصصت للنساء وعدداً من النساء قدمت لهم دعوات للحديث . هل احرز مجتمع الرياضيات مزيداً من التقدم في مجال المساواة بين الجنسين أكثر من تحقيقها في الاندماج العرقي ؟! .

سو:  من المؤكد أن الاندماج العرقي لم يتحقق بصورة اكبر أو أسرع من المساواة بين الجنسين  ويشكل النساء حالياً قرابة ٢٧ % من الاشخاص الذين يحملون شهادة الدكتوراه ، وأعضاء هينة التدريس ، وحوالي ٣٠ % ممن حصلوا على جوائز في مجال التدريس والخدمات هم من النساء.  لذلك نحن في الواقع نسير بشكل جيد جداً على تلك الجبهة . مع جوائز الكتابة - وهي الجوائز المخصصة للبحوث والعروض التقديمية - فإن عدد النساء اللواتي يفزن بها يكون أقل  .



مجلة كوانتا : هل يمكنك أن تنظر إلى عملية تحسن المساواة بين الجنسين وتستخلص منها  أي دروس عن كيفية تحسين المساواة العرقية في مجتمع الرياضيات ؟

سو: العديد من الممارسات التي تعمل على تشجيع النساء في الرياضيات تعمل كذلك للأقليات . جزء من القضية هو انه ليس هناك عدد كبير من الأقليات الذين يأتون إلى الكليات المهتمة  بتخصصات العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات STEM  . لذلك هناك شيئاً ما حدث في مستوى المدارس الثانوية والابتدائية وسيساعدنا كثيراً إذا ما استطعنا معرفة ما يجري هناك .



مجلة كوانتا : استخدمت مجازاً  " القائمة السرية " في المطاعم الصينية . ما قصدك بذلك ؟

سو : إذا ذهبت إلى مطعم جيد في مدينة كبيرة في نيويورك أو كاليفورنيا ، إن لم تكن من الصين فأنهم سوف يعطونك القائمة الرئيسية المكتوبة باللغة الصينية والانكليزية أما إذا كنت من الصين فأنهم سوف يعطونك قائمة مختلفة وفي كثير من الأحيان تكون مكتوبة باللغة الصينية بشكل كامل مع بعض الخيارات الإضافية التي ليست على القائمة الرئيسية ، واعتقد أن ذلك يحدث في مجتمع الرياضيات . اذا تحدثت إلى النساء أو الأقليات فإنهم غالباً ما يخبرونك بأن لديهم تجارب حيث يحبطهم الناس عن الاستمرار.  أما لأنهم لا يعتقدون أن المرأة لا يجب أن تتخصص في الرياضيات ، أو لأسباب أخرى . لذلك استعرت مجازاً ( القائمة السرية) مما يعني هل أننا نملك قائمة سرية ؟ ومن سينظر إليها ؟!  .



مجلة كوانتا : لقد أخبرتنا عن قصة الطالب الذي تمت نصيحته من قبل أستاذ لاختيار اختصاص آخر على أساس أن الطالب ليس جيداً بما يكفي ليبقى في الرياضيات . هل هذا شائع ؟!  .

سو : اعتقد أن الأمر شائع ، بالطبع ليس لدينا أي بيانات ولكني تحدثت بالتأكيد إلى ما يكفي من الناس الذين لديهم تلك الانواع من التجارب بمعرفة أنها متكررة جداً ومعظم هؤلاء الناس هم من النساء والاقليات .



مجلة كوانتا : لقد كان ما يقارب الشهر منذ أن ألقيت خطابك . وولد حديثك الكثير من الاهتمام على شبكة الانترنيت وبين علماء الرياضيات . ما هي أنواع الردود التي تلقيتها ؟! .

سو: لقد جاءت معظم التعليقات من الاشخاص الذين يشعرون بالامتنان لي لذكري الأمور التي لم تتم مناقشتها بالضرورة . ولكن أيضاً لتحديد بعض الأشياء العميقة الأساسية التي تدفعنا إلى القيام بعملنا . اعتقد أن الكثير من الناس وخاصة من النساء والأقليات قد أعربوا لي عن مدى أهمية أن يقول احدهم ذلك . نحن نجري مناقشات من هذا القبيل في محادثات صغيرة ، والكثير من الوقت هو لوعظ  الجموع . ولذا فإن وجود شخصاً ما يذكر ذلك في الاجتماع الوطني اعتقد أنه مفيد وهام جداً بالنسبة لهم

 المصادر 

ترجمة : اسامة عبد الكاظم
تدقيق : علي خالد 

اقرأ المزيد ...
جميع الحقوق محفوظة لـفاكهة الرياضيات
تعريب وتطوير ( سيد ضرغام ) Designed By