كيف تتعلق المسافات بالقيم المطلقة ؟

تعلم كيفية استخدام القيم المطلقة لإيجاد المسافات.

   في ((المقال السابق))، علمنا بالضبط ما هي القيم المطلقة وكيف يمكنك العثور على القيمة المطلقة لعدد. في مقال اليوم، نحن في طريقنا لوضع هذه المعرفة للعمل والتعرف على المهارات العملية لاستخدام القيم المطلقة للعثور على مسافات بين الأرقام والأماكن.

مراجعة: ما هي القيم المطلقة؟

       كما تحدثنا عن آخر مرة، الطريقة السريعة للتفكير في القيم المطلقة هي أن القيمة المطلقة لعدد يخبرك ببساطة كم يبعد هو عن الصفر على خط الأعداد. على سبيل المثال، لأن الأرقام 5 و -5 على حد سواء 5 خطوات بعيدا عن الصفر على خط الأعداد، فإن كلاهما له نفس القيمة المطلقة 5.

ما هي المسافة؟

      هل فكرة القيمة المطلقة لعدد التي تخبرك كم عدد الخطوات يبعدها عن الصفر على خط الأعداد تذكرك بأي شيء في العالم الحقيقي؟ ... ربما فكرة المسافة؟ الصلة هنا هو في الواقع واضحة جدا، ولكن دعونا نأخذ دقيقة للنظر في مثال من شأنه أن يوضح العلاقة بين القيم المطلقة في الرياضيات والمسافات بين الكائنات والأشياء في العالم الحقيقي.

       كما تعلمون، فإن المسافة بين اثنين من الأشجار في الفناء الحديقة هو مجرد عدد يخبرك مدى البعد بين الشجرتين. إذا رسمت نظام الإحداثيات في الحديقة (الذي هو في الحقيقة مجرد خط الأعداد) وتجعل واحدة من الأشجار في أصل نظام الإحداثيات المرسوم (اي موقع الصفر)، فإن المسافة إلى الشجرة الأخرى هي القيمة المطلقة ل موقعها في نظام الإحداثيات الذي رسمته. على سبيل المثال، إذا كانت شجرة واحدة في موقع مؤشر بـ 0 والشجرة الأخرى هي 7 خطوات بعيدا في أي اتجاه اخترته أن يكون الاتجاه الإيجابي، فإن المسافة إلى الشجرة الأولى هي |7|=7. إذا كانت الشجرة الثانية بدلا من ذلك في -7 في نظام الإحداثيات (في الاتجاه المعاكس)،فإن المسافة إلى الشجرة الأولى هي |-7|=7. وبعبارة أخرى، مستقلة عن الاتجاه، الشجرة الثانية هي دائما 7 خطوات بعيدا عن الأولى.

كيفية العثور على المسافة بين الأرقام الإيجابية والسلبية

     لذلك نحن نعلم أن القيمة المطلقة لنُقطة على خط الأعداد (أو القيمة المطلقة للإحداثيات لشجرةٍ في الحديقة) يخبرك المسافة بين تلك النقطة (أو شجرة) والرقم صفر في منطقة الأصل نظام الإحداثيات. ولكن كيف نجد المسافة بين أي رقمين؟ وبعبارة أخرى، ماذا لو لم تكن الشجرة الأولى في مثالنا موجودة في نقطة أصل نظام الإحداثيات؟ ماذا لو شجرة واحدة في الإحداثي 2 والأخرى في الإحداثي -5؟ كيف تجد المسافة بينهما في هذه الحالة؟

      دعونا نبدأ بملاحظة أن هذه المشكلة مع الأشجار هي نفس المشكلة في معرفة المسافة بين الأرقام 2 و -5. ونحن نعلم أن المسافات من 2 إلى 0 ومْن -5 إلى 0 يتم إعطاء كل من القيم المطلقة | 2 | = 2 و | -5 | = 5. وإذا كنا نفكر حول موقع 2 و -5 على خط الأعداد، يمكننا أن نرى أن المسافة بين هذين الرقمين تُساوي المسافة من -5 إلى 0 بالإضافة إلى المسافة من 0 إلى 2. وبعبارة أخرى، فإن المسافة بين -5 و 2 تساوي | -5 | + | 2 | = 5 + 2 = 7.

     ولكن هل هذا صحيح دائما؟ هل المسافة بين أي زوج من الأرقام تساوي دائما مجموع قيمُها المطلقة؟ على سبيل المثال، ماذا لو أردنا أن نجد المسافة بين الأرقام 2 و 5 بدلا من 2 و -5. هل يمكننا فقط إضافة المسافة من 0 إلى 2 إلى المسافة من 0 إلى 5 للحصول على | 2 | + | 5 | = 7. هل 7 هي المسافة بين 2 و 5؟ لا! كما يمكنك أن ترى بسهولة من خلال النظر في خط الأعداد، المسافة من 2 إلى 5 ليست 7 ... انها 3!

كيفية العثور على المسافة بين أي رقمين

    فما الخطأ الذي حدث؟ حسنا، بما أن القيمة المطلقة للرقم الواحد هي مسافته عن الصفر، فإن مجموع القيم المطلقة لرقمَين ليست المسافة بينهما، إنها مجموع مسافات الرقمين عن الصفر. عندما يكون عدد موجب والآخر سالب، فإنه نفس الشيء بالنسبة للمسافة بين الأرقام. لكنه لا يعمل عندما يكون كل من الأرقام إما موجبة أو سالبة.

     حسنا، ولكن ما هي الطريقة الصحيحة لحساب المسافة بين أي زوج من الأرقام؟ الطريقة السريعة هي أن المسافة بين أي زوج من الأرقام تُعطى بالقيمة المطلقة للفرق بينهما. لمعرفة ما يعنيه هذا، دعونا نعود لإيجاد المسافة بين الأرقام 2 و 5. القيمة المطلقة للفرق بينهما هي | 5-2 | = | -3 | = 3 ... والتي، كما يمكنك التحقق من خلال النظر في خط الأعداد، هي بالضبط المسافة بين 2 و 5! وكما يمكنك أيضا التحقق، هذا يعمل على أي زوج من الأرقام. القيمة المطلقة للفرق بين رقمين، أو اثنين من إحداثيات على الخريطة، أو موقعين من الأشجار في الحديقة، تخبرك مقدار المسافة بينهما دائما.

المصدر 

ترجمة : علياء تكليف
تدقيق : علي خالد

اقرأ المزيد ...

ما هي القيم المطلقة؟

تعرف على القيم المطلقة وكيفية العثور عليها.

 

       ليس هناك العديد من المصطلحات في عالم الرياضيات التي تبدو أكثر جدية من "القيمة المطلقة". وأحيانا الأشياء التي تكون جادة من الصعب فهمها. فهل هذا صحيح للقيم المطلقة؟ الحمد لله، لا. أولا وقبل كل شيء، فهي ليست بنفس الجدية التي تبدو عليها. وثانيا، كما سترى قريبا، فهم القيم المطلقة سهل ... واتضح أنها تكون مهمة جدا أيضا.

ما هي الأرقام "الصغيرة"؟

     سنتحدث عن ماهية القيم المطلقة بالضبط في دقيقة واحدة، ولكن للحصول على فكرة عن سبب أهميتها، فلنأخذ لحظة للحديث عن أعداد صغيرة جدا جدا. هل لاحظت فيما مضى أنه من السهل أن تفشل عند استخدام كلمة "صغيرة" لوصف الأرقام؟ في حين أنه صحيح أن عدد قليل جدا مثل 0.001 هو "صغير"، فإنه لا يزال أكبر بكثير من عدد سلبي مثل -1,000,000 ...فقط فكر أين تقع تلك الأرقام على خط الأعداد اذا احتجت الى شيء اكثر اقناعا.

      ولكن هناك معنى آخر للكلمة "صغيرة" حيث عدد مثل 0.001 هو في الواقع يكون بالتأكيد أصغر بكثير من عدد -1,000,000. إذا ما هو هذا المعنى؟ حسنا، إنه شيء ما مرتبط بما يسمى "حجم" الأرقام. و، كما كنت قد خمنت، هذا له علاقة مع الموضوع الرئيسي اليوم: القيم المطلقة. فما هي؟

ما هي القيم المطلقة؟

      طريقتنا للتفكير في القيم المطلقة هي أن القيمة المطلقة لعدد يخبرك ببساطة كم يبعد هذا العدد عن الصفر. نبدأ من خلال تخيل خط الأعداد  في ذهنك، الصفر في الوسط، والأرقام السلبية على يسارك، والأرقام الموجبة على يمينك ... أنت تعرف الشكل الآن. القيمة المطلقة للرقم الموجب مثل 2 تساوي 2 فقط لأن هذه هي المسافة التي يبعدها من الصفر على خط الأعداد. القيمة المطلقة للعدد 1,000,000 على خط الأعداد هو فقط 1,000,000 حيث، مرة أخرى، هذا هو مجرد كم يبعد العدد عن الصفر. فما القيمة المطلقة للصفر نفسه؟ حسنا، إنها مجرد صفر، أليس كذلك؟ من الأفضل أن تكون كذلك، حيث أن الصفر يبعد عن نفسه صفر من الوحدات على خط الأعداد!

ما هي القيمة المطلقة لعدد سالب؟

      ولكن الأمور تصبح أكثر تعقيدا قليلا عندما نتحدث عن القيم المطلقة للأرقام السالبة. على سبيل المثال، ما هي القيمة المطلقة لـ 3- ؟ حسنا، كم يبعد العدد 3- عن 0 ؟ إذا كنت تفكر في خط الأعداد، سترى أن 3- هو 3 خطوات بعيدا عن 0 . وهو ما يعني أن القيمة المطلقة ل 3- تساوي 3. فلا يهم إذا كانت الخطوات في الاتجاه الموجب أو السالب، كل ما يهم هو العدد الإجمالي للخطوات بعيدا عن الصفر.

     وبعبارة أخرى، فإن القيمة المطلقة لعدد ما تخبرنا عن قياسه - المعروف أيضا بحجمه- ولا تخبرنا أي شيء عن اتجاهه بعيدا عن الصفر. وهو ما يعني أنها لا تخبرنا بأي شيء عن علامة الرقم. وبالحديث عن الحجم، نستطيع أن نلاحظ الآن أن العدد 0.001 بالتأكيد أكبر من 1,000,000- ، لكن حجمه أصغر بكثير. لذلك، على الأقل في هذا المعنى، 0.001 هو في الواقع عدد "صغير".

كيفية كتابة القيم المطلقة

      يشار إلى القيمة المطلقة لعدد في الكتابة عن طريق وضع الرقم بين زوج من خطين عموديين. على سبيل المثال، يتم كتابة القيمة المطلقة للرقم 2- على شكل |-2|  و القيمة المطلقة للعدد 1,000 مكتوبة |1,000|. لذلك كلما رأيت شيئا يشبه ذلك، أنت تعرف الآن أننا نتحدث عن قيمة مطلقة. وبعبارة أخرى، نحن مهتمون فقط في حجم الرقم، وليس في علامته.

كيفية العثور بسرعة على القيم المطلقة للأرقام

     في الممارسة العملية، فإن أسهل طريقة للعثور على القيمة المطلقة لرقم واحد هي تجاهل أي علامة سالبة أمامه. لذا |5|=5 (لا توجد علامة سالبة لتجاهلها هنا) و |1-|= 1 (هذه المرة تجاهلنا العلامة السالبة). إذا كنت تبحث بدلا من ذلك على القيمة المطلقة للتعبير الذي يحتوي على أرقام تحتوي على الضرب أو عمليات حسابية أخرى - شيء مثل |3+2-7| - كل ما عليك القيام به هو تبسيط التعبير ثم تجاهل أي علامات سالبة أمام النتيجة. على سبيل المثال، التعبير |3+2-7| يبسط إلى | 2- |، وهو يساوي 2 فقط.

     لماذا تعمل هذه الطريقة؟ لأن تجاهل أي علامات سالبة أمام الرقم في النهاية هو نفس الشيء بالضبط لمعرفة مدى بعد هذا العدد عن الصفر. هذا كل ما هو للقيم المطلقة! كما ترون، على الرغم من جدية تسميتها، فإن القيم المطلقة من السهل حقا فهمها والتعامل معها. 

المصدر 

من هنا 

ترجمة : علياء تكليف

تدقيق : علي خالد

اقرأ المزيد ...

كيف تحسب الجذور التربيعية في ذهنك

تعلم كيفية استخدام الجذور التربيعية في العالم الحقيقي، وكيف يمكنك بسهولة تقدير قيمة الجذر التربيعي في ذهنك ، وكيف يمكنك استخدام خوارزمية قديمة لحساب قيمة الجذر التربيعي باليد لدقة عالية كما تحتاجها. 

       إذا كنت قد قرأت المقال السابق  (انقر هنا للاطلاع عليه) ، فمَعرفة ما هو الجذر التربيعي للأعداد  16 و81 ، وكل عدد آخر يكون مربع مثالي يجب أن تكون سهلة لأنك تعلم انه يجب عليك إيجاد العدد الذي ربعته وأعطاك ذلك المربع المثالي، ومعرفة ما الجذر التربيعي للعدد السالب يجب أن يكون سهلا أيضا مثل 1- أو 42-  لأننا بيّنا أن الأعداد السالبة لا تمتلك جذور تربيعية (على الأقل لا يوجد أي عدد نعرف عنه إلى الآن)، ومعرفة كيفية إيجاد الجذر التربيعي للأعداد ليست مربعات مثالية مثل π و55  يجب أن يكون سهلا جدا أيضا لأنك تستطيع استخدام الحاسبة دائما.

       ولكن ماذا لو كنا بحاجة لإيجاد الجذر التربيعي للمربعات الغير مثالية و لم تكن لدينا حاسبة يدوية في نفس الوقت! ماذا تستطيع أن تفعل؟ استمر بالقراءة لأنك ستتعلم اليوم كيف تحسب جذور تربيعية في رأسك.

الملخص : ما هي الجذور التربيعية؟

        قبل الدخول في تفاصيل كيفية تقدير جذور تربيعية في ذهنك وكيفية حساب قيمها بدقة دون استخدام الحاسبة، دعنا نستخلص قليلا ماذا نعني بـ الجذور التربيعية؟ الفكرة في الواقع بسيطة جدا: متى ما ضربت عددً في نفسه (ابقِ في ذهنك أن هذا يعمل على أي عددٍ، سواء أكان عدد صحيح، عدد نسبي أو عدد غير نسبي) سوف يُدعى تربيع العدد.

        كمثال على الأعداد الصحيحة 15x15 وهو تربيع العدد 15، وهو ما يساوي إلى 225. فعندما نجد الجذر التربيعي للعدد 225، كل ما نفعله هو معرفة ما هو العدد الأصلي الذي ضربناه بنفسه للحصول على 225. أما عند التعامل مع الأعداد التي ليست مربعات مثالية، فإن تقنية إيجاد الجذور التربيعية مختلفة، لكن الفكرة تبقى نفسها. كمثال، ما هو الجذر التربيعي للعدد 343؟ باستخدام الحاسبة، نجد أن الجواب تقريبا 18.52. فإذا ضربنا 18.52×18.52، نحصل على 342.99 وهو قريب جدا من 343، لذا كما ترى، بغض النظر عن نوع العدد الذي نتعامل معه فإن معنى الجذر التربيعي يبقى نفسه.

الجذور التربيعية في العالم الحقيقي

       قد تتساءل لماذا قد تكون بحاجة لحساب الجذر التربيعي في المقام الأول؟ كما هو الحال في مواضيع كثيرة في الرياضيات ، فإن الجذور التربيعية أيضا تظهر كثيرا في عالمنا، كمِثال: تخيل أنك تفكر في شراء منزل ورأيت في الإعلان أن مساحة المنزل هي فقط 4000 قدم مربع هل هذا صغير؟ أم ضخم؟ ماذا تعني هذه المساحة ؟ حسنا، يوجد فكرة واحدة مناسبة لتفسير هل أن المساحة مربعة الشكل تقريبا(بالطبع معظم مساحات المنازل ليست مربعات بالضبط، ولكنها ليست نموذجا سيئا لاستخدامها فقط للحصول على فكرة). الجذر التربيعي الأقدام المربعة للمساحة يخبرك كم كبر كل جانب من نموذج المساحة هذا. بما أن الجذر التربيعي لـ 4,000 قدم مربعة هو أعلى بقليل من 63 قدم ، فنرى أن البيت واقع على قطعة أرض مربعة تكون أكثر من 63 قدم عرضاً و 63 قدما عمقا بالطبع هناك الكثير من الأمثلة على الجذور التربيعية في عالمنا ، لكن أظن أن هذا يعطي صورة أوضح.

كيفية تقدير الجذور التربيعية في ذهنك

       لننتقل الآن إلى الجانب العملي لإيجاد جذور تربيعية. أولا، ماذا تفعل عندما تحتاج حساب جذر تربيعي ولا تمتلك حاسبة؟ في الحقيقة، لأن معظم الهواتف لديها تطبيق الحاسبة الآن، فأنت تملك واحدة دائما معك تقريبا. ولكن لا يزال هناك حالات لا تحتاج  إلى إضاعة الوقت باستخدامها.على وجه الخصوص، لا تحتاج إلى عناء استخدام آلة حاسبة عندما تحتاج فقط إلى معرفة الجواب التقريبي، وهذه هي الحالة بالضبط في معظم حالات عالمنا. عندما كنا نريد أن نعرف كم هو كبر قطعة أرض مقاسها 4,000 قدم مربعة، نحن لا نحتاج حقا إلى جواب شافي و وجدنا أن جوانب قطعة الأرض كانت حوالي 60 قدم كافيا جدا.

       في مثل هذه الحالات عندما تكون الدقة العالية مبالغ فيها ، يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في ذهنك لعدد من خلال معرفة بين أي اثنين من المربعات المثالية يقع العدد. على سبيل المثال، تخيل أنك بحاجة إلى العثور على الجذر التربيعي لـ 60. إذا كنت قد حفظت جدول الضرب، فأنت تعرف مسبقا أن 7^2=49 و8^2=64. لأن 60 أكبر من 49 ولكن أصغر من 64، يمكننا أن نرى على الفور أن الجذر التربيعي لـ 60 يجب أن يكون بين 7 و 8. ويمكن أيضا أن نرى أن الجواب الحقيقي يجب أن يكون أقرب قليلا إلى 8 من 7 وهذا يعني أن 60 هو أقرب إلى 64 من 49. هل هذا منطقي؟

        يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في رأسك من خلال معرفة بين أي عددين من المربعات المثالية يقع العدد المراد معرفة جذره التربيعي.

        ولكن ماذا لو كان هذا التقدير التقريبي ليس جيد بما فيه الكفاية وتحتاج إلى إجابة أكثر إقناعا؟ هل أنت خاليا من الحظ؟ لا، يمكنك استخدام خوارزمية قديمة جدا وذكية عمرها أكثر من 2000 عام تعرف باسم "الطريقة البابلية" أو "طريقة هيرون" لتحسين تقريبك. إليك كيفية استخدام الطريقة لإيجاد الجذر التربيعي لـ 60.

●      الخطوة 1 هي تخمين الجواب .. كلما كان التخمين أفضل ستتحسن دقة التقدير بسرعة أكبر. في حالتنا، لأننا نعرف أن الجواب يجب أن يكون بين 7 و 8، لنخمّن 7.5. وبما أن 7.5×7.5=56.25 ، نعلم أن هذا ليس تخمين دقيقا، ولكن لنرى ما يمكن للخوارزمية القيام به.

●      الخطوة 2 هي تقسيم العدد الذي أخذنا الجذر التربيعي له على الذي خمّناه لذا 60/7.5 = 8.

●      الخطوة 3 هي إيجاد المتوسط بين هذا الرقم الجديد وبين الذي خمّناه. بعبارة أخرى، إضافة الرقم الجديد إلى الرقم الذي خمّناه  وتقسيم النتيجة على 2. أي (7.5 + 8) \ 2 =7.75. هذا الرقم هو تخمينّنا الجديد ، لنتّحقق و نرى هل تخمينّنا جيد: 7.75x7.75=60.0625 ...حيث انه قريب جدا من 60. لذا فقط بهذا التسلسل من الخطوات قمنا بتحسين تقديرنا للجذر التربيعي للـ 60 بشكل هائل.

●      الخطوة 4 هي أن تقرر ما إذا كان تخمينك الجديد هو دقيق بما فيه الكفاية. إذا كان كذلك، إذن انتهيت. إن لم يكن كافيا، فلتعد إلى البداية مع التخمين الجديد وكرر العملية حتى تصل إلى الجواب الدقيق الذي تحتاج إليه. كل رحلة من خلال هذه الخوارزمية القديمة تعطيك جواب أكثر وأكثر دقة. 

 المصدر :

من هنا 

ترجمة : آيات خالد 

تدقيق : علياء تكليف 

اقرأ المزيد ...

3 خطوات لإجراء عملية الجمع بسرعة

كيف تقوم بالقراءة بسرعة والحساب بسرعة سويا؟ ما هي أسرع الطرق للتوصل إلى إجابات تقريبية لمسائل الجمع ؟ وكيف سيساعدك الضرب للجمع بصورة أسرع ؟ أبقى مستمرا بقراءة الرياضيات الأنيقة لمعرفة الإجابة على هذه الأسئلة 

عندما خرجت في عطلة هذا الأسبوع للتسوق أدركت أنني إلى حدٍ ما ليس لدي معرفة باستخدام العديد من الحيل لإجراء عملية الجمع الذهنية لتساعدني في معرفة كم من المال انفق بعد أن لاحظت هذا أدركت أن هذه الحيل ربما تكون غير واضحة للناس الذين يستخدمونها دائما وهذا السبب الذي دفعني لمشاركتها معكم اليوم
بشكل خاص ونحن سنتعلم  العلاقة بين القراءة السريعة وإجراء عملية الجمع بسرعة وأسرع طريقة لجمع الأرقام عندما تحتاج إلى إجابة تقريبية وكيف نستخدم عملية الضرب والجمع بصورة سريعة

1- افعل ذلك ذهنيا (لا تنطق بما تفعل )
النصيحة الأولى لهذا اليوم هي سهلة القول وصعبة التطبيق ولكنها فعالة للغاية بمجرد أن تقوم بذلك وهنا توجد خدعة يجب أن تأخذ بها هي  توقف عن التحدث مع نفسك عند حل مسائل الجمع دون وعي وهذه القاعدة وكما قلت سهلة عند التحدث عنها وصعبة عند القيام بتطبيقها .
"توقف عن التحدث مع نفسك عند حل مسائل الجمع"
إذا كنت قد تعلمت سابقا القراء بصورة سريعة أو حاولت التعلم فليس لدي شك بأنك تعرف النصيحة التي تنص على التوقف عن النطق عند القراءة، أي القراءة الصامتة أجد أن من الصعب القيام بذلك عند القراءة على الرغم من ذلك يبدو أن بعض الأشخاص لديهم القدرة على القيام بذلك بينما أجد أن من الصعب القيام بذلك أثناء القراءة ولقد أدركت أني افعل ذلك بشكل طبيعي عند القيام بجمع مجموعة من الأرقام
فعلى سبيل المثال عند جمع مجموعة من الأرقام مثل 23, 17, 7, 12 و 30 الحوار الذي يدور بداخلي ليس شيئا مثل:
23+17=40 أذن 7+40=47 و 47+12=59 وأخيرا 59+31=90
ولكن بدلا من ذلك شيء مثل :
23, 33, 40, 47, 59, 90
وبعبارة أخرى فانا لا أدرك ما أقوم به أنا فقط افعل ذلك ، في هذه الحالة بدأت مع الرقم الأول 23 ثم أضفت له 10 من 17 للحصول على 33 ثم أضفت 7 من  17 (لاحظ أن مجموع  3 و7 هي إحدى الصور التي في المتناول والتي من الممكن أن نحصل منها على الرقم 10) للحصول على 40 ثم ما يلي نضيف 7 للحصول على 47 ثم 12 و31
المقصود هو أنني قمت بكل خطوة دون قولها أي بدون أن أقولها لنفسي، فقط فعلت ذلك. وإذا فعلتها مرة واحدة ستعتاد على القيام بذلك والتي من المسلم أنها  تأخذ بعض التدريب والممارسة وسوف تجد أن قطع القراءة  أو التوقف عن استعمالها تعطي عملية الجمع الذهنية الخاصة بك سرعة كبيرة و على الأقل بالنسبة لي إجراء عملية الجمع ذهنيا أسهل من إجرائها مع القراءة .

2-جولة إيقاف وتسريع

الخطوة الثانية لهذا اليوم هي لكل الأوقات التي تحتاج بها إضافة بعض الأعداد للتوصل إلى تقدير مجموع مباراة بيسبول إنها لتلك الأوقات عندما تكون قريبا بصورة كافية جدا .  

احد الأسرار هو المضي قدما وبدء تقديرك في وقت مبكر من اللعبة عن طريق تقريب الأرقام التي تقوم بإضافتها أولاً  

في لحظات مثل هذه السر هو المضي قدما وبدء تقديرك الخاص في وقت مبكر في اللعبة عن طريق تقريب الأرقام التي تقوم بإضافتها إلى أي رقم تريد ، على سبيل المثال إذا كنت تريد أن تضيف مجموعة مكونة من 3 أرقام _ لنقل 123 و 421 و 369 و 876 _ ولكنك تحتاج فقط إلى الإجابة على أقرب 10 لذلك يجب عليك البدء بتقريب جميع الأرقام التي تضيفها إلى أقرب 10 والذي يعني بدلا من إضافة 123 و 421 و 369 و 876 يجب عليك بدلا من ذلك إضافة 120 و 420 و 370 و480 ومن الواضح انه من الأسهل بكثير إضافة هذه الأرقام التي تم تقريبها حيث أنها تملك صفرا في عمود واحد مما يعني أن عملية الجمع ستكون أسرع كثيرا

ما هي الصفقة الكبيرة هنا ؟! ، حسناً في الكثير من الأوقات عندما يريد الناس أن يعرفوا الإجابة  على مسألة التقريب لأقرب 10 يتجهون إلى جمع الأرقام والانتظار لتقريب الناتج النهائي - ولكن هذا أبطأ بكثير - والناتج سيكون نفسه باستخدام أي من الأسلوبين ( لأنك تقرب الناتج النهائي بقدر ما قربت الأرقام وحدها قبل جمعها )  لذلك من المنطقي أن تقوم بالتقريب منذ البداية  في هذه الحالات و تجعل حياتك أسهل . ألا تعتقد ذلك ؟! .

3 استخدم عملية الضرب (عندما تستطيع)

آخر خطوة اليوم هي بسيطة حقاً وواضحة أيضاً بمجرد أن تدرك انه يمكنك (ويجب أن ) تقوم بذلك .

الحيلة التي أتحدث عنها هي أن تتذكر استخدام عملية الضرب قبل الجمع ماذا اقصد لنلقي نظرة على مثال

لنفترض انك تجمع أسعار مجموعة من الكتب التي اشتريتها باستخدام الطريقة السابقة سوف تقوم بتقريب كل شي إلى اقرب دولار منذ البداية عندما تقوم بذلك لديك قائمة من الكتب التي هي 7$ و 14$ و 8$ و 7$ و 11$ و 7$ طريقة واحدة استخدامها لجمع هذه الأرقام هي أن البدء منذ البداية بالتقريب لإيجاد الناتج  

ولكن هذه ليست أفضل طريقة ، بدلاً من ذلك لاحظ أن 3 كتب تكلف 7 دولارات مما يعني أنك سوف تكون أفضل حالاً اضرب أولاً 7$ ×3 والناتج  هو 21$  بعد ذلك نقوم بإضافة هذا المبلغ إلى المبالغ الأخرى للحصول على المجموع الكلي أو بشكل أفضل من ذلك يمكنك أن تلاحظ أن واحد من الكتب الأخرى يكلف 14$ وهو ناتج من(7×2)  

مما يعني انك يمكنك أن تبدأ بضرب 7 في 5 ليصبح المجموع 35$ ثم إضافة هذا المجموع إلى المبالغ  المتبقية للحصول على المبلغ النهائي الذي يقلل الجهد هنا هو أن الضرب أولاً يمكن أن يسرع الأمور حقا .

وأخيراً الخدعة الحقيقية مع كل هذه النصائح الثلاث هي التدريب أو الممارسة. أنا لا اقصد كتابة بعض المسائل وحلها بالممارسة واحدة تلو الأخرى  ( هذا سيكون مملا ) بل اعني اغتنام الفرصة لاستخدام هذه الطرق كلما يمكنك في العالم الخارجي وهذه هي الطريقة الوحيدة التي ستصبح فيها طبيعية ،  وثانياً بهذه الطريقة ستكون من مشجعي الرياضيات . 

المصدر 

من هنا 

ترجمة : نبأ عبد الأمير 

تدقيق : علي خالد 

اقرأ المزيد ...

رياضيات الكسوف الشمسي

تعرف على الرياضيات وراء الكسوف الشمسي، واكتشف ما هي الصدفة الرياضياتية المسؤولة عن الكسوف بالمقام الأول، وجهز نفسك لعرض الكسوف الشمسي قريبا أو في المستقبل.  

هل حصلت على فرصة لرؤية كسوف الشمس الحلقي الأخير؟ أعيش في كاليفورنيا، كنت محظوظا جدا لأكون في مسار الكسوف الشمسي والعرض كان مدهشا جدا. كما شاهدت عبر الكاميرا اقتراب القمر ليصبح على خط واحد مع الشمس تدريجيا ويحجب جزء اكبر واكبر من الشمس، أنا لم استطع إلا بالتفكير بظاهرة غريبة جدا ومحتملة رياضياتياً وصدفة كونية تجعل الكسوف ممكنا في المقام الأول. لذا اليوم سنتحدث عن تلك المصادفة الرياضياتية، وما لها من علاقة مع أنواع مختلفة من كسوف الشمس، وسوف نتأكد من أنك ستكون على استعداد تام للحصول على فرصة لرؤية الكسوف في المرة القادمة.

ما هو الكسوف؟

قبل أن ندخل عميقا في الرياضيات الذي يكمن وراء  كسوف الشمس، دعونا نأخذ دقيقة للحديث عن القواعد الأساسية الفلكية للكسوف. هذا قد يفاجئك، ولكن الكسوف ليس بالضرورة أن يكون  خاص بالشمس فقط لأن كلمة الكسوف تصف أي حدث يكون عبارة عن أن أحد الأجسام الفلكية يلقي ظله على جسم آخر، لذا يشمل الكسوف الشمسي القمر حين يلقي ظله على الأرض، وخسوف القمر عندما تلقي الأرض ظلها على القمر، والكثير من أحداث الكسوف والتي لا علاقة لها بالأرض أو القمر على الإطلاق. على سبيل المثال تحدث الكسوف عندما يلقي أحد أقمار المشتري بظلاله على الكوكب العملاق، وعندما يلقي أحد أقمار زحل ظلا على قمر آخر من أقماره وحتى عندما يلتقي نجم واحد في نظام ثنائي (نجْمان يدوران حول بعضهما البعض) فيلقي أحدهما ظله على الآخر.

كجانب لغوي قصير، الكسوف هو مثال على شيء يسمى "نقطة الاقتران" كلمة ممتعة، أليس كذلك؟ ، تحدث نقطة الاقتران كلما كانت ثلاث أجسام فلكية في خط مستقيم. الناس يحبون أن يبالغوا في مثل هذه الأشياء ويستخدمونها للتنبؤْ بنهاية العالم وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، هذه الأشياء كلها هراء. ولكن نقطة الاقتران حقا هي كلمة ممتعة.

صدفة رياضياتية فلكية

دعونا الآن نركز على نوع من الكسوف الأكثر إثارة الذي أنت وأنا يمكن أن نشهده هنا على الأرض - كسوف الشمس الكلي - . إذا كنت في المكان الصحيح عندما يحدث كسوف من هذا النوع فسوف تشهد كما يقال مشهدا مرعبا حيث أن القمر يمنع ضوء قرص الشمس تماما، فجر كاذب غريب يحدث فجأة خلال اليوم، وهالة الشمس ذات المليوني درجة (أنها الطبقة الخارجية) تختفي وراء قرص القمر. وعلى الرغم من أن هذا يبدو مشهدا مذهلا ( لم أشاهده  بنفسي بعد ). كما أنها صدفة مذهلة(أو يجب أن أقول فلكية).لماذا!؟ باختصار لان الرياضيات تعمل بها بنجاح تماما.

وإليك ما اقصده : قطر القمر حوالي 3,475 كم، وقطر الشمس حوالي 1,391,000 كم. مما يعني أن قطر الشمس حوالي 1,391,000/3,475 أو تقريبا 400 مرة أكبر من قطر القمر. وهذا يعني أنه إذا كان القمر والشمس بعيدان بنفس البعد عن الأرض (وهما بالطبع ليسا كذلك)  فإن الشمس ستظهر في السماء لتكون اكبر ب400 مرة من القمر. وبما أن القمر سيكون صغيرا بالمقارنة مع الشمس، فان كسوف الشمس الكلي لن يكون ممكنا، يجب أن يكون الحجم الظاهر للقمر الذي نراه في السماء على الأقل بنفس كبر الحجم الظاهر للشمس (لان القمر يجب أن يغطي الشمس). ومن قبيل الصدفة، هوبالضبط تماما.

الرياضيات وراء الكسوف الكلي للشمس

نتيجة للرياضيات التي تحدث صدفة، نحْصل على تجربة كسوف شمس كلي غريب. و كما يعرف الرسامين الذين كافحوا مع هذا لملايين السنين، الحجم الظاهر لجسم ما يعتمد على مدى بعده عنك. في فن التصوير هذا ما يعرف بالمنظور. وكمثال بسيط، فإذا قارنا بين الارتفاع الظاهر لشجرتين والتي على بعد 50م و100م، ستجد أن الشجرة الأبعاد تبدو 50/100 أو بنصف طولها. وهذا بالضبط نفس المبدأ الذي ينطبق على الأحجام الظاهرة من الشمس والقمر. على وجه الخصوص، كما رأينا سابقا، قطر الشمس حوالي 400 مرة أكبر من قطر القمر. باستخدام مبدأ المنظور الذي استخدمناه لتحديد الأحجام النسبية للأشجار، نرى أن الحجم الظاهري للقمر سيكون أكبر من حجم الشمس - وبالتالي فإن الكسوف الكلي سيكون ممكنا - إذا كانت المسافة إلى الشمس على الأقل اكبر بـ 400 مرة من المسافة إلى القمر.

لذا، كيف يعمل الرياضيات؟ حسنا، المسافة إلى الشمس تتراوح بين 147,000,000 كم و 152,000,000 كم، والمسافة إلى القمر تتراوح بين 360,000 كم و 406,000 كم. وبالنظر إلى هذه الأرقام، يمكنك الآن معرفة مقدار انخفاض حجم الشمس الظاهر مقارنة بحجم القمر والسبب يعود إلى أن بعد الشمس أكثر من بعد القمر عن الأرض. عندما تكون الشمس في أبعد نقطة لها عن الأرض والقمر في مساره، فإن الشمس

152,000,000/360,000 كم

أو حوالي 422 مرة ابعد من القمر. وبعبارة أخرى، في ذلك الوقت،عامل الفرق 400 بين أقطار الشمس والقمر وعامل الفرق 422 بين المسافة لكل واحد منهما تعمل معا لجعل الحجم الظاهر من الشمس والقمر متطابق تقريبا. وهذا خبر عظيم لأنه يعني أن نتيجة لقليل من الصدفة في الرياضيات، تحصل على تجربة عجيبة من الكسوف الكلي للشمس.

متى سيكون الكسوف القادم

إذا كنت تتساءل متى ستكون فرصتك المقبلة لرؤية كسوف الشمس الكلي، سيكون الجواب هو انه يعتمد على المكان الذي تعيش فيه … وعلى مدى استعدادك للسفر. الناس في الولايات المتحدة لديهم سبب ليكونوا متحمسين لأنه كان هناك كسوف كلي مذهل في جميع أنحاء البلاد من الشمال الغربي إلى الجنوب الشرقي في 21 أغسطس 2017. لذا لديك الكثير من الوقت للتخطيط لرحلتك. 

المصدر 

من هنا 

ترجمة : نبأ عبد الأمير 

تدقيق : علياء تكليف 

اقرأ المزيد ...

ما هي الجذور التربيعية ؟

قد قضينا الكثير من الوقت في الآونة الأخيرة للتحقيق في خصائص الأرقام المعروفة بالمربعات الكاملة علينا أن نتذكر أن المربعات الكاملة هي كل الأرقام التي نحصل عليها من حاصل ضرب أي عدد في نفسه فالناتج من حاصل الضرب يسمى بالمربع الكامل ، كمثال ان 1،4،9 هي مربعات كاملة بحيث (1^2=1) ، ) 4 ( 2 ^ 2= ،)9 (3^2=   .. إلخ  ،

أنا متأكد انك تتفق معي على أن تلك الأوقات التي قضيناها مع المربعات الكاملة أوقات جيدة جدا و لدي خبر عظيم بأن تلك الأوقات لم تنته بعد ..

في الواقع يوجد سؤال آخر يجب التفكير به يتعلق بالمربعات الكاملة ، في نهاية هذا المقال ستعرف ما عدد المربعات الكاملة للحصول على المربع المثالي؟ ويجب أن تكون أيضا مستعدا للتعامل مع بعض العقبات التي ستواجهك .

ما هي الجذور التربيعية؟

تخيل أني أعطيك عدد وأقول انه مربع كامل .. كمثال العدد 49  .. ونحن نعلم ان 49 هو بالفعل مربع كامل  لأنه عندما نضرب عدد معين في نفسه ينتج الـ 49 وهذا كمثال بسيط وربما تعرف إجابته . لكن السؤال الحقيقي الذي يحتاج للتفكير هو إذا كنا لا نعرف ما هو العدد لمربع كامل معين؟

الجواب على هذا السؤال بسيط جدا .. وربما هو شيء كنت تعرفه بالفعل ، نستطيع إيجاد عدد غير معروف بالبحث عنه بواسطة الجذر التربيعي للمربع الكامل  ، نستخدم مثالنا السابق .. الجذر التربيعي للـ 49 الذي هو مربع كامل يكتب باستخدام الرمز الرياضي الرائع جدا الذي يبدو بالشكل كأنه "علامة الاختيار" المعروف بعلامة الجذر التربيعي ..كما في 49√ (ملاحظة: نحن دائما نرسم خط على49  لنضمن أن الجذر التربيعي  يحتوي على كل العدد ولكن كتابته في شبكة الانترنيت هكذا صعبة) ، تعلمنا سابقا عندما حفظنا جدول الضرب لأول مرة بان 7^2=،49 وهذا يعني ان 49√ =7  .. سهل جدا .. أليس كذلك؟ بالتأكيد ، ولكن هل هذا كل شيء ؟!

هل يمكن أن تكون الجذور التربيعية سالبة ؟

إذا كنت مهتماً حقاً قد تفكر أيضا 

بأن العبارة -7^2 = -7×-7=49 

 أليست صحيحة أيضا ؟! 

ألا يعني هذا أن  7- هي إجابة صحيحة بنفس القدر

بعبارة أخرى ألا ينبغي لنا أن نقول أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي أما 7 أو 7-   .

وجوابي هو : ليس حقاً ، على الرغم من أنك ترى الناس في الكثير من الأحيان الناس يدعون أن قيمة الجذر التربيعي للعدد 49 يمكن ان تساوي 7- كما تساوي 7 .   

وأعتقد أنه من غير المربك أن نفكر في الجذور التربيعية من حيث ما  هو فنياً أكثر تسمى بـ "الجذور التربيعية الأساسية "  ..والتي هي فقط الجذور التربيعية الموجبة التي كنا نتحدث عنها .

في الحقيقة أن هذا التناقض ينتج من المعادلة ( x^2=49 )  حيث أن المتغير x يكون حل للمعادلة إذا ساوى احد جذري ال49 بمعنى أما يساوي 7 أو 7- ..

ونستطيع التحقق من هذا بتعويض الجذرين بقيمة x ، وأي واحد من هذه القيم سيجعل طرفي المعادلة متساوي سيكون هو قيمة x الصحيحة ، وعند التعويض نجد أن العددين يجعلان طرفي المعادلة متساوي وهذا يعني ان x لها قيمتين تحققا المعادلة بمعنى أن المعادلة لها أكثر من حل .. وعند قولنا أن x تمتلك قيمتين ممكنتين تجعلان المعادلة صحيحة هذا لا يعني أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي رقمين مختلفين ، في حين أن معادلة مثل هذه قد تكون لها قيم متعددة فمن الأفضل أن نفكر بأن الجذر التربيعي لأي مربع كامل هو رقم موجب واحد للرجوع إليها في المستقبل ويعرف أيضاً بالجذر التربيعي الأساسي .

كيفية حساب الجذور التربيعية 

أفضل طريقة لحساب الجذور التربيعية هي عادة استخدام آلة حاسبة أو جهاز كمبيوتر ، وهو مما يعني أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي 7 فقط ، وكان من السهل جداً معرفة ذلك ، أليس كذلك؟! .  بعد كل شيء ربما فكرت انه ليس صعبا جدا حساب الجذور التربيعية .. حسنا هذا صحيح انه ليس من الصعب جدا العثور على الجذر التربيعي لمربع الكامل ..

لكن لا تتحمس جدا لان الحياة ليست بهذه البساطة . وعلى وجه الخصوص ليس من السهل إيجاد الجذر التربيعي للأعداد التي لا تمثل مربعا كاملا .. كمثال ما هو الجذر التربيعي لـ 60 ؟ . ومعرفته صعبة جداً لأنه لا يمكن إيجاد حاصل ضرب أي عدد في نفسه يساوي 60 . ماذا نفعل في هذه الحالة ؟

سوف نتحدث في المرة القادمة حول بعض التقنيات السريعة والغير رسمية التي يمكنك استخدامها لتقدير الجذور التربيعية ( حيث انه من الجميل دائماً أن يكون لديك حيل من هذا القبيل في حزام أدواتك الرياضية) ، لكن في الحقيقة إن أفضل طريقة لإيجاد الجذر التربيعي - وخاصة عندما تحتاج دقة عالية - هي استخدام آلة حاسبة أو جهاز الكمبيوتر .

بعد كل ذلك تم تطوير طرق حساب الجذور التربيعية  باليد منذ مئات السنين قبل أن تكون الآلات التي يمكن أن تفعل هذه المهمة موجودة . ولكن الآن هذه الآلات موجودة وهي أكثر سرعة وأكثر دقة منك ، لذلك لا معنى لاستخدامها ؟ بالرغم من كل ذلك لدينا أشياء أفضل يمكن أن نقوم بها بأدمغتنا .

هل الأرقام السالبة لها جذور تربيعية؟

قبل أن ننتهي ، وقبل أن  تتحمس جدا لتشغيل الآلة الحاسبة لحساب الجذور التربيعية ، أود أن أحذرك أن ليس كل عدد له جذر . ماذا يعني ذلك؟ ، حسنا لنفكر إذا كان المربع الكامل عدد موجب فأن جذره دائما عدد موجب وإذا كان المربع الكامل عدد سالب فأن جذره دائما عدد موجب أيضاً ، وهذا يعني أن المربع الكامل لأي عدد دائما يكون عدد موجب ،

وبما أنه لا يوجد أرقام نستطيع تربيعها لنحصل على عدد سالب (على الأقل لا يوجد شيء نعرفه حتى الآن)  لهذا يمكننا أن نستنتج أن الأرقام السالبة ليس لها جذور تربيعية   

.

تطبيق عملي

مع ذلك ، حان الوقت لتختبر نفسك في إيجاد الجذر التربيعي ، حاول أن تحل ثلث هذه المسائل بالضبط ، بينما حاول أن تحل  ثلث آخر من هذه المسائل تقريبا باستخدام الحاسبة ، والثلث الأخير لا تحله إطلاقا  ،

تستطيع اختيار أي طريقة لحل المسائل ، ولكن اختار بحكمة !

16√ = ____ ؟

√1- = ____ ؟

√π = ____ ?

81√ = ____ ؟

√-42 = ____ ؟

الجذر التربيعي ل 55 = ____ ؟ 

المصدر

من هنا 

ترجمة : آيات خالد

تدقيق : علي خالد 

اقرأ المزيد ...