كيف تحسب الجذور التربيعية في ذهنك

تعلم كيفية استخدام الجذور التربيعية في العالم الحقيقي، وكيف يمكنك بسهولة تقدير قيمة الجذر التربيعي في ذهنك ، وكيف يمكنك استخدام خوارزمية قديمة لحساب قيمة الجذر التربيعي باليد لدقة عالية كما تحتاجها. 

       إذا كنت قد قرأت المقال السابق  (انقر هنا للاطلاع عليه) ، فمَعرفة ما هو الجذر التربيعي للأعداد  16 و81 ، وكل عدد آخر يكون مربع مثالي يجب أن تكون سهلة لأنك تعلم انه يجب عليك إيجاد العدد الذي ربعته وأعطاك ذلك المربع المثالي، ومعرفة ما الجذر التربيعي للعدد السالب يجب أن يكون سهلا أيضا مثل 1- أو 42-  لأننا بيّنا أن الأعداد السالبة لا تمتلك جذور تربيعية (على الأقل لا يوجد أي عدد نعرف عنه إلى الآن)، ومعرفة كيفية إيجاد الجذر التربيعي للأعداد ليست مربعات مثالية مثل π و55  يجب أن يكون سهلا جدا أيضا لأنك تستطيع استخدام الحاسبة دائما.

       ولكن ماذا لو كنا بحاجة لإيجاد الجذر التربيعي للمربعات الغير مثالية و لم تكن لدينا حاسبة يدوية في نفس الوقت! ماذا تستطيع أن تفعل؟ استمر بالقراءة لأنك ستتعلم اليوم كيف تحسب جذور تربيعية في رأسك.

الملخص : ما هي الجذور التربيعية؟

        قبل الدخول في تفاصيل كيفية تقدير جذور تربيعية في ذهنك وكيفية حساب قيمها بدقة دون استخدام الحاسبة، دعنا نستخلص قليلا ماذا نعني بـ الجذور التربيعية؟ الفكرة في الواقع بسيطة جدا: متى ما ضربت عددً في نفسه (ابقِ في ذهنك أن هذا يعمل على أي عددٍ، سواء أكان عدد صحيح، عدد نسبي أو عدد غير نسبي) سوف يُدعى تربيع العدد.

        كمثال على الأعداد الصحيحة 15x15 وهو تربيع العدد 15، وهو ما يساوي إلى 225. فعندما نجد الجذر التربيعي للعدد 225، كل ما نفعله هو معرفة ما هو العدد الأصلي الذي ضربناه بنفسه للحصول على 225. أما عند التعامل مع الأعداد التي ليست مربعات مثالية، فإن تقنية إيجاد الجذور التربيعية مختلفة، لكن الفكرة تبقى نفسها. كمثال، ما هو الجذر التربيعي للعدد 343؟ باستخدام الحاسبة، نجد أن الجواب تقريبا 18.52. فإذا ضربنا 18.52×18.52، نحصل على 342.99 وهو قريب جدا من 343، لذا كما ترى، بغض النظر عن نوع العدد الذي نتعامل معه فإن معنى الجذر التربيعي يبقى نفسه.

الجذور التربيعية في العالم الحقيقي

       قد تتساءل لماذا قد تكون بحاجة لحساب الجذر التربيعي في المقام الأول؟ كما هو الحال في مواضيع كثيرة في الرياضيات ، فإن الجذور التربيعية أيضا تظهر كثيرا في عالمنا، كمِثال: تخيل أنك تفكر في شراء منزل ورأيت في الإعلان أن مساحة المنزل هي فقط 4000 قدم مربع هل هذا صغير؟ أم ضخم؟ ماذا تعني هذه المساحة ؟ حسنا، يوجد فكرة واحدة مناسبة لتفسير هل أن المساحة مربعة الشكل تقريبا(بالطبع معظم مساحات المنازل ليست مربعات بالضبط، ولكنها ليست نموذجا سيئا لاستخدامها فقط للحصول على فكرة). الجذر التربيعي الأقدام المربعة للمساحة يخبرك كم كبر كل جانب من نموذج المساحة هذا. بما أن الجذر التربيعي لـ 4,000 قدم مربعة هو أعلى بقليل من 63 قدم ، فنرى أن البيت واقع على قطعة أرض مربعة تكون أكثر من 63 قدم عرضاً و 63 قدما عمقا بالطبع هناك الكثير من الأمثلة على الجذور التربيعية في عالمنا ، لكن أظن أن هذا يعطي صورة أوضح.

كيفية تقدير الجذور التربيعية في ذهنك

       لننتقل الآن إلى الجانب العملي لإيجاد جذور تربيعية. أولا، ماذا تفعل عندما تحتاج حساب جذر تربيعي ولا تمتلك حاسبة؟ في الحقيقة، لأن معظم الهواتف لديها تطبيق الحاسبة الآن، فأنت تملك واحدة دائما معك تقريبا. ولكن لا يزال هناك حالات لا تحتاج  إلى إضاعة الوقت باستخدامها.على وجه الخصوص، لا تحتاج إلى عناء استخدام آلة حاسبة عندما تحتاج فقط إلى معرفة الجواب التقريبي، وهذه هي الحالة بالضبط في معظم حالات عالمنا. عندما كنا نريد أن نعرف كم هو كبر قطعة أرض مقاسها 4,000 قدم مربعة، نحن لا نحتاج حقا إلى جواب شافي و وجدنا أن جوانب قطعة الأرض كانت حوالي 60 قدم كافيا جدا.

       في مثل هذه الحالات عندما تكون الدقة العالية مبالغ فيها ، يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في ذهنك لعدد من خلال معرفة بين أي اثنين من المربعات المثالية يقع العدد. على سبيل المثال، تخيل أنك بحاجة إلى العثور على الجذر التربيعي لـ 60. إذا كنت قد حفظت جدول الضرب، فأنت تعرف مسبقا أن 7^2=49 و8^2=64. لأن 60 أكبر من 49 ولكن أصغر من 64، يمكننا أن نرى على الفور أن الجذر التربيعي لـ 60 يجب أن يكون بين 7 و 8. ويمكن أيضا أن نرى أن الجواب الحقيقي يجب أن يكون أقرب قليلا إلى 8 من 7 وهذا يعني أن 60 هو أقرب إلى 64 من 49. هل هذا منطقي؟

        يمكنك بسهولة تقدير الجذر التربيعي في رأسك من خلال معرفة بين أي عددين من المربعات المثالية يقع العدد المراد معرفة جذره التربيعي.

        ولكن ماذا لو كان هذا التقدير التقريبي ليس جيد بما فيه الكفاية وتحتاج إلى إجابة أكثر إقناعا؟ هل أنت خاليا من الحظ؟ لا، يمكنك استخدام خوارزمية قديمة جدا وذكية عمرها أكثر من 2000 عام تعرف باسم "الطريقة البابلية" أو "طريقة هيرون" لتحسين تقريبك. إليك كيفية استخدام الطريقة لإيجاد الجذر التربيعي لـ 60.

●      الخطوة 1 هي تخمين الجواب .. كلما كان التخمين أفضل ستتحسن دقة التقدير بسرعة أكبر. في حالتنا، لأننا نعرف أن الجواب يجب أن يكون بين 7 و 8، لنخمّن 7.5. وبما أن 7.5×7.5=56.25 ، نعلم أن هذا ليس تخمين دقيقا، ولكن لنرى ما يمكن للخوارزمية القيام به.

●      الخطوة 2 هي تقسيم العدد الذي أخذنا الجذر التربيعي له على الذي خمّناه لذا 60/7.5 = 8.

●      الخطوة 3 هي إيجاد المتوسط بين هذا الرقم الجديد وبين الذي خمّناه. بعبارة أخرى، إضافة الرقم الجديد إلى الرقم الذي خمّناه  وتقسيم النتيجة على 2. أي (7.5 + 8) \ 2 =7.75. هذا الرقم هو تخمينّنا الجديد ، لنتّحقق و نرى هل تخمينّنا جيد: 7.75x7.75=60.0625 ...حيث انه قريب جدا من 60. لذا فقط بهذا التسلسل من الخطوات قمنا بتحسين تقديرنا للجذر التربيعي للـ 60 بشكل هائل.

●      الخطوة 4 هي أن تقرر ما إذا كان تخمينك الجديد هو دقيق بما فيه الكفاية. إذا كان كذلك، إذن انتهيت. إن لم يكن كافيا، فلتعد إلى البداية مع التخمين الجديد وكرر العملية حتى تصل إلى الجواب الدقيق الذي تحتاج إليه. كل رحلة من خلال هذه الخوارزمية القديمة تعطيك جواب أكثر وأكثر دقة. 

 المصدر :

من هنا 

ترجمة : آيات خالد 

تدقيق : علياء تكليف 

اقرأ المزيد ...

3 خطوات لإجراء عملية الجمع بسرعة

كيف تقوم بالقراءة بسرعة والحساب بسرعة سويا؟ ما هي أسرع الطرق للتوصل إلى إجابات تقريبية لمسائل الجمع ؟ وكيف سيساعدك الضرب للجمع بصورة أسرع ؟ أبقى مستمرا بقراءة الرياضيات الأنيقة لمعرفة الإجابة على هذه الأسئلة 

عندما خرجت في عطلة هذا الأسبوع للتسوق أدركت أنني إلى حدٍ ما ليس لدي معرفة باستخدام العديد من الحيل لإجراء عملية الجمع الذهنية لتساعدني في معرفة كم من المال انفق بعد أن لاحظت هذا أدركت أن هذه الحيل ربما تكون غير واضحة للناس الذين يستخدمونها دائما وهذا السبب الذي دفعني لمشاركتها معكم اليوم
بشكل خاص ونحن سنتعلم  العلاقة بين القراءة السريعة وإجراء عملية الجمع بسرعة وأسرع طريقة لجمع الأرقام عندما تحتاج إلى إجابة تقريبية وكيف نستخدم عملية الضرب والجمع بصورة سريعة

1- افعل ذلك ذهنيا (لا تنطق بما تفعل )
النصيحة الأولى لهذا اليوم هي سهلة القول وصعبة التطبيق ولكنها فعالة للغاية بمجرد أن تقوم بذلك وهنا توجد خدعة يجب أن تأخذ بها هي  توقف عن التحدث مع نفسك عند حل مسائل الجمع دون وعي وهذه القاعدة وكما قلت سهلة عند التحدث عنها وصعبة عند القيام بتطبيقها .
"توقف عن التحدث مع نفسك عند حل مسائل الجمع"
إذا كنت قد تعلمت سابقا القراء بصورة سريعة أو حاولت التعلم فليس لدي شك بأنك تعرف النصيحة التي تنص على التوقف عن النطق عند القراءة، أي القراءة الصامتة أجد أن من الصعب القيام بذلك عند القراءة على الرغم من ذلك يبدو أن بعض الأشخاص لديهم القدرة على القيام بذلك بينما أجد أن من الصعب القيام بذلك أثناء القراءة ولقد أدركت أني افعل ذلك بشكل طبيعي عند القيام بجمع مجموعة من الأرقام
فعلى سبيل المثال عند جمع مجموعة من الأرقام مثل 23, 17, 7, 12 و 30 الحوار الذي يدور بداخلي ليس شيئا مثل:
23+17=40 أذن 7+40=47 و 47+12=59 وأخيرا 59+31=90
ولكن بدلا من ذلك شيء مثل :
23, 33, 40, 47, 59, 90
وبعبارة أخرى فانا لا أدرك ما أقوم به أنا فقط افعل ذلك ، في هذه الحالة بدأت مع الرقم الأول 23 ثم أضفت له 10 من 17 للحصول على 33 ثم أضفت 7 من  17 (لاحظ أن مجموع  3 و7 هي إحدى الصور التي في المتناول والتي من الممكن أن نحصل منها على الرقم 10) للحصول على 40 ثم ما يلي نضيف 7 للحصول على 47 ثم 12 و31
المقصود هو أنني قمت بكل خطوة دون قولها أي بدون أن أقولها لنفسي، فقط فعلت ذلك. وإذا فعلتها مرة واحدة ستعتاد على القيام بذلك والتي من المسلم أنها  تأخذ بعض التدريب والممارسة وسوف تجد أن قطع القراءة  أو التوقف عن استعمالها تعطي عملية الجمع الذهنية الخاصة بك سرعة كبيرة و على الأقل بالنسبة لي إجراء عملية الجمع ذهنيا أسهل من إجرائها مع القراءة .

2-جولة إيقاف وتسريع

الخطوة الثانية لهذا اليوم هي لكل الأوقات التي تحتاج بها إضافة بعض الأعداد للتوصل إلى تقدير مجموع مباراة بيسبول إنها لتلك الأوقات عندما تكون قريبا بصورة كافية جدا .  

احد الأسرار هو المضي قدما وبدء تقديرك في وقت مبكر من اللعبة عن طريق تقريب الأرقام التي تقوم بإضافتها أولاً  

في لحظات مثل هذه السر هو المضي قدما وبدء تقديرك الخاص في وقت مبكر في اللعبة عن طريق تقريب الأرقام التي تقوم بإضافتها إلى أي رقم تريد ، على سبيل المثال إذا كنت تريد أن تضيف مجموعة مكونة من 3 أرقام _ لنقل 123 و 421 و 369 و 876 _ ولكنك تحتاج فقط إلى الإجابة على أقرب 10 لذلك يجب عليك البدء بتقريب جميع الأرقام التي تضيفها إلى أقرب 10 والذي يعني بدلا من إضافة 123 و 421 و 369 و 876 يجب عليك بدلا من ذلك إضافة 120 و 420 و 370 و480 ومن الواضح انه من الأسهل بكثير إضافة هذه الأرقام التي تم تقريبها حيث أنها تملك صفرا في عمود واحد مما يعني أن عملية الجمع ستكون أسرع كثيرا

ما هي الصفقة الكبيرة هنا ؟! ، حسناً في الكثير من الأوقات عندما يريد الناس أن يعرفوا الإجابة  على مسألة التقريب لأقرب 10 يتجهون إلى جمع الأرقام والانتظار لتقريب الناتج النهائي - ولكن هذا أبطأ بكثير - والناتج سيكون نفسه باستخدام أي من الأسلوبين ( لأنك تقرب الناتج النهائي بقدر ما قربت الأرقام وحدها قبل جمعها )  لذلك من المنطقي أن تقوم بالتقريب منذ البداية  في هذه الحالات و تجعل حياتك أسهل . ألا تعتقد ذلك ؟! .

3 استخدم عملية الضرب (عندما تستطيع)

آخر خطوة اليوم هي بسيطة حقاً وواضحة أيضاً بمجرد أن تدرك انه يمكنك (ويجب أن ) تقوم بذلك .

الحيلة التي أتحدث عنها هي أن تتذكر استخدام عملية الضرب قبل الجمع ماذا اقصد لنلقي نظرة على مثال

لنفترض انك تجمع أسعار مجموعة من الكتب التي اشتريتها باستخدام الطريقة السابقة سوف تقوم بتقريب كل شي إلى اقرب دولار منذ البداية عندما تقوم بذلك لديك قائمة من الكتب التي هي 7$ و 14$ و 8$ و 7$ و 11$ و 7$ طريقة واحدة استخدامها لجمع هذه الأرقام هي أن البدء منذ البداية بالتقريب لإيجاد الناتج  

ولكن هذه ليست أفضل طريقة ، بدلاً من ذلك لاحظ أن 3 كتب تكلف 7 دولارات مما يعني أنك سوف تكون أفضل حالاً اضرب أولاً 7$ ×3 والناتج  هو 21$  بعد ذلك نقوم بإضافة هذا المبلغ إلى المبالغ الأخرى للحصول على المجموع الكلي أو بشكل أفضل من ذلك يمكنك أن تلاحظ أن واحد من الكتب الأخرى يكلف 14$ وهو ناتج من(7×2)  

مما يعني انك يمكنك أن تبدأ بضرب 7 في 5 ليصبح المجموع 35$ ثم إضافة هذا المجموع إلى المبالغ  المتبقية للحصول على المبلغ النهائي الذي يقلل الجهد هنا هو أن الضرب أولاً يمكن أن يسرع الأمور حقا .

وأخيراً الخدعة الحقيقية مع كل هذه النصائح الثلاث هي التدريب أو الممارسة. أنا لا اقصد كتابة بعض المسائل وحلها بالممارسة واحدة تلو الأخرى  ( هذا سيكون مملا ) بل اعني اغتنام الفرصة لاستخدام هذه الطرق كلما يمكنك في العالم الخارجي وهذه هي الطريقة الوحيدة التي ستصبح فيها طبيعية ،  وثانياً بهذه الطريقة ستكون من مشجعي الرياضيات . 

المصدر 

من هنا 

ترجمة : نبأ عبد الأمير 

تدقيق : علي خالد 

اقرأ المزيد ...

رياضيات الكسوف الشمسي

تعرف على الرياضيات وراء الكسوف الشمسي، واكتشف ما هي الصدفة الرياضياتية المسؤولة عن الكسوف بالمقام الأول، وجهز نفسك لعرض الكسوف الشمسي قريبا أو في المستقبل.  

هل حصلت على فرصة لرؤية كسوف الشمس الحلقي الأخير؟ أعيش في كاليفورنيا، كنت محظوظا جدا لأكون في مسار الكسوف الشمسي والعرض كان مدهشا جدا. كما شاهدت عبر الكاميرا اقتراب القمر ليصبح على خط واحد مع الشمس تدريجيا ويحجب جزء اكبر واكبر من الشمس، أنا لم استطع إلا بالتفكير بظاهرة غريبة جدا ومحتملة رياضياتياً وصدفة كونية تجعل الكسوف ممكنا في المقام الأول. لذا اليوم سنتحدث عن تلك المصادفة الرياضياتية، وما لها من علاقة مع أنواع مختلفة من كسوف الشمس، وسوف نتأكد من أنك ستكون على استعداد تام للحصول على فرصة لرؤية الكسوف في المرة القادمة.

ما هو الكسوف؟

قبل أن ندخل عميقا في الرياضيات الذي يكمن وراء  كسوف الشمس، دعونا نأخذ دقيقة للحديث عن القواعد الأساسية الفلكية للكسوف. هذا قد يفاجئك، ولكن الكسوف ليس بالضرورة أن يكون  خاص بالشمس فقط لأن كلمة الكسوف تصف أي حدث يكون عبارة عن أن أحد الأجسام الفلكية يلقي ظله على جسم آخر، لذا يشمل الكسوف الشمسي القمر حين يلقي ظله على الأرض، وخسوف القمر عندما تلقي الأرض ظلها على القمر، والكثير من أحداث الكسوف والتي لا علاقة لها بالأرض أو القمر على الإطلاق. على سبيل المثال تحدث الكسوف عندما يلقي أحد أقمار المشتري بظلاله على الكوكب العملاق، وعندما يلقي أحد أقمار زحل ظلا على قمر آخر من أقماره وحتى عندما يلتقي نجم واحد في نظام ثنائي (نجْمان يدوران حول بعضهما البعض) فيلقي أحدهما ظله على الآخر.

كجانب لغوي قصير، الكسوف هو مثال على شيء يسمى "نقطة الاقتران" كلمة ممتعة، أليس كذلك؟ ، تحدث نقطة الاقتران كلما كانت ثلاث أجسام فلكية في خط مستقيم. الناس يحبون أن يبالغوا في مثل هذه الأشياء ويستخدمونها للتنبؤْ بنهاية العالم وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، هذه الأشياء كلها هراء. ولكن نقطة الاقتران حقا هي كلمة ممتعة.

صدفة رياضياتية فلكية

دعونا الآن نركز على نوع من الكسوف الأكثر إثارة الذي أنت وأنا يمكن أن نشهده هنا على الأرض - كسوف الشمس الكلي - . إذا كنت في المكان الصحيح عندما يحدث كسوف من هذا النوع فسوف تشهد كما يقال مشهدا مرعبا حيث أن القمر يمنع ضوء قرص الشمس تماما، فجر كاذب غريب يحدث فجأة خلال اليوم، وهالة الشمس ذات المليوني درجة (أنها الطبقة الخارجية) تختفي وراء قرص القمر. وعلى الرغم من أن هذا يبدو مشهدا مذهلا ( لم أشاهده  بنفسي بعد ). كما أنها صدفة مذهلة(أو يجب أن أقول فلكية).لماذا!؟ باختصار لان الرياضيات تعمل بها بنجاح تماما.

وإليك ما اقصده : قطر القمر حوالي 3,475 كم، وقطر الشمس حوالي 1,391,000 كم. مما يعني أن قطر الشمس حوالي 1,391,000/3,475 أو تقريبا 400 مرة أكبر من قطر القمر. وهذا يعني أنه إذا كان القمر والشمس بعيدان بنفس البعد عن الأرض (وهما بالطبع ليسا كذلك)  فإن الشمس ستظهر في السماء لتكون اكبر ب400 مرة من القمر. وبما أن القمر سيكون صغيرا بالمقارنة مع الشمس، فان كسوف الشمس الكلي لن يكون ممكنا، يجب أن يكون الحجم الظاهر للقمر الذي نراه في السماء على الأقل بنفس كبر الحجم الظاهر للشمس (لان القمر يجب أن يغطي الشمس). ومن قبيل الصدفة، هوبالضبط تماما.

الرياضيات وراء الكسوف الكلي للشمس

نتيجة للرياضيات التي تحدث صدفة، نحْصل على تجربة كسوف شمس كلي غريب. و كما يعرف الرسامين الذين كافحوا مع هذا لملايين السنين، الحجم الظاهر لجسم ما يعتمد على مدى بعده عنك. في فن التصوير هذا ما يعرف بالمنظور. وكمثال بسيط، فإذا قارنا بين الارتفاع الظاهر لشجرتين والتي على بعد 50م و100م، ستجد أن الشجرة الأبعاد تبدو 50/100 أو بنصف طولها. وهذا بالضبط نفس المبدأ الذي ينطبق على الأحجام الظاهرة من الشمس والقمر. على وجه الخصوص، كما رأينا سابقا، قطر الشمس حوالي 400 مرة أكبر من قطر القمر. باستخدام مبدأ المنظور الذي استخدمناه لتحديد الأحجام النسبية للأشجار، نرى أن الحجم الظاهري للقمر سيكون أكبر من حجم الشمس - وبالتالي فإن الكسوف الكلي سيكون ممكنا - إذا كانت المسافة إلى الشمس على الأقل اكبر بـ 400 مرة من المسافة إلى القمر.

لذا، كيف يعمل الرياضيات؟ حسنا، المسافة إلى الشمس تتراوح بين 147,000,000 كم و 152,000,000 كم، والمسافة إلى القمر تتراوح بين 360,000 كم و 406,000 كم. وبالنظر إلى هذه الأرقام، يمكنك الآن معرفة مقدار انخفاض حجم الشمس الظاهر مقارنة بحجم القمر والسبب يعود إلى أن بعد الشمس أكثر من بعد القمر عن الأرض. عندما تكون الشمس في أبعد نقطة لها عن الأرض والقمر في مساره، فإن الشمس

152,000,000/360,000 كم

أو حوالي 422 مرة ابعد من القمر. وبعبارة أخرى، في ذلك الوقت،عامل الفرق 400 بين أقطار الشمس والقمر وعامل الفرق 422 بين المسافة لكل واحد منهما تعمل معا لجعل الحجم الظاهر من الشمس والقمر متطابق تقريبا. وهذا خبر عظيم لأنه يعني أن نتيجة لقليل من الصدفة في الرياضيات، تحصل على تجربة عجيبة من الكسوف الكلي للشمس.

متى سيكون الكسوف القادم

إذا كنت تتساءل متى ستكون فرصتك المقبلة لرؤية كسوف الشمس الكلي، سيكون الجواب هو انه يعتمد على المكان الذي تعيش فيه … وعلى مدى استعدادك للسفر. الناس في الولايات المتحدة لديهم سبب ليكونوا متحمسين لأنه كان هناك كسوف كلي مذهل في جميع أنحاء البلاد من الشمال الغربي إلى الجنوب الشرقي في 21 أغسطس 2017. لذا لديك الكثير من الوقت للتخطيط لرحلتك. 

المصدر 

من هنا 

ترجمة : نبأ عبد الأمير 

تدقيق : علياء تكليف 

اقرأ المزيد ...