بالنسبة لكثير من الناس ، ذكريات دروس الرياضيات في المدرسة قد توصف بأي شيء باستثناء أنها جميلة . رغم ذلك " الجمال " هي الكلمة التي غالبا ما استخدمها أنا وبقية علماء الرياضيات لوصف موضوعنا .
كيف يمكن أن تكون
الرياضيات جميلة ؟! وهل هذا مهم ؟!!
بالنسبة لي كعالم
رياضيات ، إنها بالغة الأهمية . متعتي في جمال الرياضيات هي الجزء الذي يحفوني
لدراسة هذا الموضوع . بل هي كذلك دليلي عندما اعمل على مشكلة : إذا فكرت في قليل
من الاستراتيجيات ، فسأختار أولاً المسألة التي تبدوا أكثر أناقة . وإذا كان حلي
يبدو أخرق فسوف أعيد النظر فيه لأحاول جعله أكثر جاذبية .
لقد انتهيت للتو من
تصحيح كومة من الواجبات المنزلية لطلابي من السنة الثانية في الرياضيات. صدمت بحلين
متناقضين لطالبين لمسألة واحدة . كلاهما حلهما صحيح وكلاهما أجابا على السؤال . والآن
عليَ تفضيل احدهما على الآخر . وليس الحل الأطول من الآخر فحسب أو يفسر بشكل أفضل
من الآخر ( في الحقيقة ، كلاهما يفسران بشكل جيد)
الحل الأطول لا يصل تماماَ إلى صلب الموضوع ، مشوش قليلاً ويحتوي على انحرافات
غير ضرورية . والحل الآخر يستخدم نهجاً مختلفاً يلتقط جوهر الأفكار - فهو يساعد
القارئ على فهم لماذا هذا الجزء من الرياضيات يعمل بهذه الطريقة ، ليس فقط حلها .
بالنسبة لعالم الرياضيات " لماذا " مهمة جداً . ونحن نبحث دائماً عن الحجج التي تكشف عن ذلك .
بعض حالات جمال الرياضيات واضحة . الفركتالات (الهندسة الكسيرية) على سبيل
المثال ، مجموعات رياضية من الأعداد والتي تتوافق مع بعض الإشكال المتشابهة
المؤلفة من أجزاء متشابهة تشبه الجزء الأصلي والتي ألهمت العديد من الفنانين .
الأقل هو الأكثر
لكن ماذا عن الحالات الأقل وضوحاً ؟ دعني اضرب لك مثلاً . من المرجح انك
لاحظت متتابعة الأعداد 1 , 3 , 6 , 10 , 15 ، 21 ، 28 , ... هذه المتتابعة التي
غالبا ما تواجه الطلاب في المدرسة : الأعداد المثلثية . كل عدد في المتتابعة يتوافق
مع عدداً من النقاط في متسلسلة المثلثات
هل يمكننا ان نتوقع ما هو الرقم الألف في هذه المتتابعة هناك طرق عديدة لحل
هذه المسألة ، وفي الحقيقة فإن التشابك بين أوجه التشابه والاختلاف بين هذه الطرق
هو في حد ذاته أمر رياضي ونير . لكن هذا
برهان جميل نوعاً ما
تخيل العدد العاشر من المتتابعة (لأنه أسهل في رسم الصورة من العدد الألف )
. دعونا نحسب النقاط بدون عدها . حيث لدينا مثلث من النقاط ، عشرة في الصف الأسفل
و 10 صفوف من النقاط .
إذا صنعنا نسخة ثانية من الترتيب ويمكننا تدويره ووضعه بجوار مثلثنا الأصلي
من النقاط لذلك سيشكل المثلثان مستطيل.
هذا الشكل من النقاط سيحتوي 10 في الصف الأسفل و 11 صف ، لذلك لدينا 10 * 11 = 110
نقاط في المجموع (نظر الشكل في الأسفل ). الآن نحن نعلم أن نصفها في مثلثنا
الأصلي لذلك الرقم المثلثي العاشر هو 110 ÷ 2 = 55 ، ولم نضطر لعدها .
قوة هذه الحجة الرياضية
هي أننا نستطيع من دون أي تعب تعميمها لأي عدد حتى بدون رسم النقاط. ويمككنا أن
نعمل تجربة فكرية المثلث الألف في المتتابعة سيحتوي على 1000 نقطة في الصف الأسفل
، و 1000 صف من النقاط . وبعمل نسخة أخرى منه وتدويرها سنحصل على مستطيل من 1000
نقطة في الصف الأسفل و 1001 من الصفوف . نصف هذه النقاط سيكون هو مثلثنا الأصلي
لذلك فإن العدد المثلثي الألف هو (1000*1001) ÷ 2 = 500500 .
بالنسبة
لي فكرة رسم النقاط ،
مضاعفتها ، تدويرها ، وصنع مستطيل هي فكرة جميلة . والحجة قوية وتعمم بدقة ( لأي
حجم من المثلثات ) وتكشف لماذا الإجابة هي ما هي عليه
هناك طرق أخرى للتنبؤ بهذا الرقم . احدها هو
النظر للقليل من الحدود الأولى للمتتابعة , تخمين صيغة وبعدها نثبت أن الصيغة تعمل
(وكمثال باستخدام تقنية تسمى البرهان بالاستقراء)
. ولكن هذا لا ينقل نفس التوضيح البارز خلف الصيغة . كما ان هناك اختصار في البرهان
باستخدام صور من النقاط، فرسم تخطيطي واحد يختصر كل ما نريد معرفته
هناك حجة أخرى أجدها جذابة ، لنفكر في المجموع أدناه
هذه المتسلسلة التوافقية الشهيرة . وتبين أنها لا تساوي عدد منتهي ، وعلماء
الرياضيات يقولون ان المجموع " متباعد " . كيف يمكننا إثبات ذلك ؟ تبدوا
صعبة ، لكن فكرة واحدة أنيقة تؤدي هذه المهمة .
هنا كل مجموعة من الكسور تجمع لأكبر من (1/2) ونحن نعلم ان (1/3) أكبر من (1/4) وهذا يعني أن 1/3) + (1/4)) أكبر من (1/4) + (1/4) .
والتي تساوي 1/2) ) . لذلك بإضافة مجموعات كافية ، كلها اكبر من 1/2) ) فالمجموع سيكون أكبر
وأكبر ، يمكننا أن نخلط أي هدف نريد بإضافة
عدد غير منتهي لهم فسنحصل على مجموع غير منتهي . لقد برهنا على اللانهاية ، بحجة جميلة
لعبة الانتظار ؟
هذه ليست أصعب مواضيع الرياضيات . احد التحديات التي تواجه الرياضيات هو أن
معالجة المسائل الأكثر تعقيداً غالباً ما تعني أولاً معالجة المصطلحات الأكثر تعقيداً
وتدوينها . لا يمكنني أن أجد أي جانب من الرياضيات جميلاً ما لم أفهمه أولاً بشكل
صحيح . وهذا يعني أنه يمكن أن أستغرق بعض الوقت لتقدير الصفات الجمالية .
أنا لا اعتقد أن هذا
ما تنفرد به الرياضيات . هناك مقطوعات من الموسيقى ، المباني وقطع من الفنون
البصرية حيث لم أكن في البدء اقدر جمالها أو أناقتها ، وفقط بالمثابرة ، بالتعامل
مع الأفكار بدأت أدرك الجمال .
بالنسبة لي واحدة من متع التدريس الجامعي هي مشاهدة
الطلاب وهم يطورون تقديرهم لجمال الرياضيات . سأشاهد طلبة المرحلة الثانية بعد ظهر
اليوم لمتابعة واجباتهم المنزلية ، وبكل تأكيد سنجري محادثة مثيرة للاهتمام حول
حلولهم المختلفة ، وان النظر في الصفات الجمالية سوف تعب دوراً في تعميق فهمهم
للرياضيات
طلاب المدارس يمكنهم خوض نفس التجربة : حينما يتم إعطائهم فرصة للتعامل مع أسئلة
غنية ، حينما يمكنهم اللعب مع الأفكار الرياضية ، حينما تكون لديهم الفرصة لتجربة
استراتيجيات متعددة لنفس السؤال بدلاً من الحصول على الجواب في نهاية الكتب
المدرسية فقط . الأفكار الرياضية لا ينبغي أن تكون بالمستوى الجامعي فهناك مسائل
جميلة وممتازة لطلاب المدارس . ومن المفرح ان هناك العديد من معلمي الرياضيات
ومشاريع تعليم الرياضيات تساعد التلاميذ للحصول على تلك التجارب من جمال الرياضيات
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق